四曲线积分.ppt

曲线积分与曲面积分 一、第一类曲线积分 2. 第一类曲线积分的计算 几何与物理意义 二、第二类曲线积分 2. 第二类曲线积分的计算 三、格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 1.格林(Green)公式 简单应用 2.曲线积分与路径无关的条件 上页 下页 返回 结束 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 上页 下页 返回 结束 3. 第一类与第二类曲线积分的关系 其中 （可以推广到空间曲线上 ） 上页 下页 返回 结束 可用向量表示 有向曲线元； 上页 下页 返回 结束 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 上页 下页 返回 结束 定理1 上页 下页 返回 结束 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 上页 下页 返回 结束 证明(1) y x o a b D c d A B C E 上页 下页 返回 结束 同理可证 y x o d D c C E 上页 下页 返回 结束 证明(2) D 两式相加得 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 x y o L 1. 简化曲线积分 A B ? 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2. 简化二重积分 x y o 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 解 上页 下页 返回 结束 x y o L y x o 上页 下页 返回 结束 x y o (注意格林公式的条件) 上页 下页 返回 结束 3. 计算平面面积 上页 下页 返回 结束 * * 学习重点 理解曲线积分的定义 掌握计算曲线积分的方法 理解格林公式 第四节 曲 线 积 分 上页 下页 返回 结束 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 1.第一类曲线积分的概念 上页 下页 返回 结束 定义 上页 下页 返回 结束 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 上页 下页 返回 结束 存在条件： 推广 上页 下页 返回 结束 注意： 上页 下页 返回 结束 性质 上页 下页 返回 结束 定理 上页 下页 返回 结束 注意: 特殊情形 上页 下页 返回 结束 推广: 上页 下页 返回 结束 例1 解 上页 下页 返回 结束 例2 解 例3 解 上页 下页 返回 结束 例4 解 由对称性, 知 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 1. 第二类曲线积分的概念 上页 下页 返回 结束 求和 取极限 近似值 精确值 上页 下页 返回 结束 1.定义 上页 下页 返回 结束 类似地定义 上页 下页 返回 结束 2.存在条件： 3.组合形式 上页 下页 返回 结束 4.推广 上页 下页 返回 结束 5.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 上页 下页 返回 结束 定理 上页 下页 返回 结束 特殊情形 上页 下页 返回 结束 上页 下页