四格林公式.ppt

第四节 格林公式 一、格林公式 格林公式小结: 二、平面曲线积分与路径无关的条件 1、曲线积分与路径无关的定义 2.定理 证明 (1) (2) 三、二元函数的全微分求解 2、二元函数的全微分方程求解 第二类曲线积分常用计算方法小结: 思考: * 三、曲线积分基本定理 求 P dx+Q dy原函数的一个方法： 证 令 故 Pdx+Qdy是某个函数的全微分. 其一个原函数为： 问：u(x,y)是唯一的吗？ 解 故曲线积分与路径无关. 例 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证 令 则 故当x 0时, 原函数存在. 问：为什么(x0, y0)不取(0, 0)? (1) 定义 若一阶微分方程可写为P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0,且满足 Qx = Py , 则称之为全微分方程或恰当方程. (2) 解法: 若 P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0 是全微分方程, 则微分方程通解为： u (x,y)=C. 解 故方程是全微分方程, 故原方程的通解为 例3 解 ∵曲线积分与路径无关, 1.直接化为定积分计算. 2.用格林公式: (1) L 封闭,且 D 内无奇点 (2) L 非封闭：添加辅助线 (3) D内有奇点：挖去奇点 3.曲线积分与路径无关时, 改变积分路径简化计算. * 一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D ?D由L1与L2连成 2. 正向边界曲线 ?D+ ?D由L1与L2组成 边界曲线 ?D 的正向:当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边. D的正向边界曲线记为: ?D+. 平面单连通区域: 边界曲线的逆时针方向为正向. 平面复连通区域: 边界曲线的外圈, 逆时针方向为正向,边界曲线的里圈, 顺时针方向为正向. 3、格林 (Green ) 公式 定理1 设 xoy 面上的有界闭区域 D 的边界曲线?D由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有: 公式(1)叫做格林公式. 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 证明(1) 若区域D既是x型又是y型, y x o D a b A B 证明(1) 若区域D既是x型又是y型, y x o D c d C E A B 同理可证 两式相加得 证明(2) D 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3. G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 若D是复连通区域 , 添加直线段 AB,CE. 则?D由AB, BA,AFC,CE, EC及CGA构成. 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿D的全部边界的曲线积分, 且每条闭曲线的走向对D来说都是正向． 应注意的问题： 4、格林公式的简单应用 情形1：L是封闭曲线且在L所围区域D内P、Q无奇点, 1) 简化第二类曲线积分 的计算. (奇点：P 或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点) x y o 则可直接应用格林公式. x y o 解 记L所围区域为 D , 情形2：L 是非封闭曲线, 解 D 作定向线段 它与L所围闭区域记为 D, 可添加辅助线化为情形1. 2) 简化二重积分的计算 x y o 解 3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积. 格林公式: 闭区域 D 的面积A 解 5. 应用格林公式时一定要注意条件 1) 公式中有向曲线应为区域 D 的正向边界. 解 记 L 所围闭区域为 D , 解 2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则不能直接应用格林公式. 记 L 围成的闭区域为 D , 则当 x 2 + y 2?0 时, 有: (1) 当 (0,0)?D 时, x y o L (2) 当 (0,0)?D 时, l 取顺时针方向. 作位于D内圆周 l : x 2 + y 2= r 2 , 记 L 和 l 所围成区域为 D1, 则有： y x o 1.格林公式： 2. 格林公式的应用. 应用格林公式计算 时应注意两点： 1) L必须是