图论课件六平面图.ppt

* * 图论及其应用 应用数学学院 第六章 平面图 主要内容 一、平面图概念与性质 二、特殊平面图与平面图的对偶图 三、平面图的判定与涉及平面性不变量 教学时数 安排8学时讲授本章内容 四、平面性算法 本次课主要内容 (一)、平面图的概念 (二)、平面图性质 平面图概念与性质 (三)、图的嵌入性问题简介 (四)、凸多面体与平面图 图的平面性问题是图论典型问题之一。生活中许多问题都与该问题有关。 (一)、平面图的概念 例子1：电路板设计问题 在电路板设计时，需要考虑的问题之一是连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，当绝缘层破损时，会出现短路故障。 显然，电路板可以模型为一个图，“要求电路元件间连接导线互不交叉”，对应于“要求图中的边不能相互交叉”。 例子2：空调管道的设计 某娱乐中心有6个景点，位置分布如下图。 A1 A4 A5 A3 A2 A6 分析者认为：(1) A1与A4, (2) A2与A5, (3) A3与A6间人流较少，其它景点之间人流量大，必须投资铺设空调管道，但要求空调管道间不能交叉。如何设计？ 如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应的图为： A6 A5 A4 A3 A2 A1 于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不会相互交叉？ 通过尝试，可以把上图画为： 于是，铺设方案为： A6 A5 A4 A3 A2 A1 A1 A4 A5 A3 A2 A6 问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？ 例子3：3间房子和3种设施问题 上面问题可以模型为如下偶图： H3 H2 H1 E W G 问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边之间不会交叉？ 上面的例子都涉及同一个图论问题：能否把一个图画在平面上，使得边与边之间没有交叉？ 针对这一问题，我们引入如下概念 定义1 如果能把图G画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称G可以嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法，称为G的一种平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。 H3 H2 H1 E W G 图G H3 H2 H1 E W G 图G的平面嵌入 注: (1) 可平面图概念和平面图概念有时可以等同看待； (2) 图的平面性问题主要涉及如下几个方面：1) 平面图的性质；2) 平面图的判定；3) 平面嵌入方法(平面性算法) ;4）涉及图的平面性问题的拓扑不变量。 由 图的平面性问题研究引申出图的一般嵌入性问题的研究，形成了拓扑图论的主要内容。我国数学家吴文俊、刘彦佩等在该方向都有重要结果。刘彦佩的专著是《图的上可嵌入性理论》(1994)，化学工业出版社出版。 历史上，波兰数学家库拉托斯基、美国数学家惠特尼、生于英国的加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都在拓扑图论中有过精湛的研究。 (二)、平面图性质 定义2 (1) 一个平面图G把平面分成若干连通片，这些连通片称为G的区域，或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。 在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。 平面图G f1 f3 f2 f4 (2) 面积有限的区域称为平面图G的内部面，否则称为G的外部面。 (3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面 f 的次数, 记为deg ( f )。 平面图G f1 f3 f2 f4 在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。 1、平面图的次数公式 定理1 设G=(n, m)是平面图，则： 证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义，它也给总次数贡献2次。于是有： 2、平面图的欧拉公式 定理2(欧拉公式) 设G=(n, m)是连通平面图，ф是G的面数，则： 证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1, ф=1。在这种情况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。 情形2，G不是树的连通平面图。 假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含有最少边数的连通平面图G, 使得它不满足欧拉恒等式。设这个最少边数连通平面图G=(n, m), 面数为ф