型曲面积分.ppt

作业 P304 1（1）（3）（5） *3 返回 后页 前页 §2 第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流 体从曲面一侧流向另一侧的流量. 与第二型曲线积分相类似, 第二型曲面积分与曲面所取的方向有关, 这就需要先定义“曲面的侧”. 一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系 一、曲面的侧 设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法 线 ), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方 向. 又设 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点 且不超出 S 边界的闭曲线. 当 S 上的动点 M 从 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特 征: 出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. 否则, 若 由某一点 出发, 沿 S 上某一封闭曲线 回到 时, 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 S 是单侧曲面. 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带. 它的构造方 法如下: 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 一端扭转 后与另一端粘合在一起 ( 即让 A 与 C 重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ). 默比乌斯( M?bius,A.F. 1790-1868, 德国 ) 通常由 所表示的曲面都是双侧曲面, 其法 线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧. 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上把上侧 作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为 正侧, 内侧作为负侧. 二．第二型曲面积分的概念 先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速 从曲面 S 的负侧流向正侧 (图22-5), 其中 P, Q, R 为 所讨论范围上的连续函 数, 求在单位时间内流过 曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点 处的正向单位法向量为 这里 ?, ?, ? 都是 x, y, z 的函数. 则单位时间内流经 小曲面块 的流量 其中 是任意取定的一点; 是点 处的单位法向量; 分别是 在坐标面 于是单位时间内由 的负侧流向正 所以, 单位时间内由 的负侧流向正侧的总流量 这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第 侧的流量 也就近似等于 上投影区域的近似面积, 分别记作 的投影区域的面积, 它们的符号由 的方向来确定: 分别表示 在三个坐标面上 二型曲面积分. 定义1 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 分割 T 的细度为 若 在曲面 所指定一侧上的第二型曲面积分,记作 的选取无关, 则称此极限 I 为向量函数 中的三个极限都存在, 且与分割 T 和点 的 据此定义, 某流体以速度 从曲面 的 负侧流向正侧的总流量即为 又如, 若空间中的磁场强度为 则按指定方向穿过曲面 的磁通量(磁力线总数)为 若以 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知 第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质: 1. 若 存在, 则有 其中 2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲面 所组成, 则有 三．第二型曲面积分的计算 定理22.2 设 是定义在光滑曲面 上的连续函数, 以 S 的上侧为正侧( 这时 的法线方 向与 轴正向成锐角), 则有 证 由第二型曲面积分的定义, 由于 R 在 S 上连续, 上连续(曲面光滑), 据 在 复合函数的连续性, 上也连续. 由二重积分的定义, 这里 所以 这里 S 是取法线方向与 轴的正向成锐角的那一 类似地,当 在光滑曲面 上连续时,有 一侧为正侧. 侧为正侧. 当 在光滑曲面 上连续时, 有 这里 S 是取法线方向与 轴的正向成锐角的那一 例1 计算 其中 是球面 的外侧（图22-6）. 解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为 部分并取球面 在 它们在 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限 部分. 因积分是沿 的下侧进行, 故 其中 例2 计算 是由曲面 所围立体表面的