复变函数 讲.ppt

1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域 §4 区 域 1. 区域的概念 邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ 0为半径的圆 | z -z 0|δ(或 0 | z –z 0|δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。 记为Ｕ(z0 ,δ) 即， 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 　　域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集。 连通是指 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。 D-区域 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； 内点 外点 D的所有边界点组成D的边界。 P 有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|R}，则D是有界区域；否则无界。 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线 3. 单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。 z(a)=z(b) C z(a)=z(b) 内部 外部 边界 定义 复平面上的一个区域 B ， 如果B内的任何简单闭曲线的 内部总在B内，就称 B为单连通 域；非单连通域称为多连通域。 例如 |z|R（R0）是单连通的； 0≤r|z|≤R是多连通的。 单连通域 多连通域 多连通域 单连通域 作业 P31 　1（２）（４）， 　　　２， 　　　８（３）（４）（５）， 　　　１４（２）（４）， 　　　２１（４）（８）（９） 　　　２２（３）（４）（６） * * 课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 西安交通大学高等数学教研室 编 总 学 时 32学时 课程简介 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 复数与复变函数、解析函数、 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。 背　景 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 　　复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 　　二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论