复变函数三.ppt

* 解：由函数 f(z) =sinz 在 z 平面上解析，且 z=0含于 内部，则根据柯西积分公式， * (z=-1, z=3含于 内部) x y * §6 解析函数的高阶导数 定理 解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为： 其中 C 为解析区域 D 内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于 D. 注 一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的. * 例 求下列积分的值，其中 C 为正向圆周： B 内任何一条简单闭曲线 C 都有 例 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内连续，且对 证明 f(z) 在 B 内解析. （Morera 定理） m * 第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广 ———复合闭路定理 §4 原函数与不定积分 §5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数 §7 解析函数与调和函数的关系 §1 复变函数积分的概念 1.1 积分的定义 有向曲线 设函数 w=f(z) 定义在区域 D 内，C 为 D 内起点 为 A，终点为 B 的一条光滑的有向曲线，在 C 上从 A 到 B 依次取分点： 在弧 上 任意取一点 作和式 z1 z3 z k z2 z0=A z1 z2 z3 ... zk-1 B=z1 x y O zk * 当 n 趋于无穷时，不论对 C 的 分法及对 的取法如何，只要 趋于零， 若 有唯一极限，则称此极限值为 f(z) 沿 C 的积 分. 记作 注 若C为闭曲线，则沿C 的积分记作 若 C 是实轴上的闭区间，而 f(z) 是一个一元实函 数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义 是一致的. * 复积分的基本性质 * 例 设 C 为从点 i 到点 3+4i 的直线段，试求积分 绝对值的一个上界. 如何计算复积分？ * 复积分存在的必要条件 若函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) 沿（按段）光滑曲线 C： 连续，则 f(z) 沿 C 可积，且成立 * 注 形式上看， 例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分： * 变量替换公式 例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分： * O x y 例 计算 ，其中 C 的正向圆周，n 为整数. 为以 z0 为中心，r 为半径 O x y 例 计算 的值，其中 C 为 1）沿直线段 2）沿折线段 例 计算 其中 C 为从原点到点3+4i的直线段. 解：直线段 C 的方程： 或 z=3t+i4t, 0 ≤t ≤1 则在 C 上 dz=(3+4i)dt，从而 与积分路线 C 无关，只与端点有关. * O x y 例 计算 ，其中 C 的正向圆周，n 为整数. 为以 z0 为中心，r 为半径 解：C 的方程： * * O x y 例 计算 的值，其中 C 为 1）沿直线段 2）沿折线段 * §2 柯西-古萨基本定理 柯西-古萨基本定理 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内处处解析，则 f(z) 沿 B 内的任一条封闭曲线 C 的积分为零： 注 条件若改为 f(z) 在闭区域 上解析，其中曲线 C 为单连通区域 B 的边界，结论仍成立. 柯西-古萨基本定理 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内处处解析，则 f(z) 沿 B 内的任一条封闭曲线 C 的积分为零： 注 条件若改为 f(z) 在单连通区域 D 上解析，且在其边界 C 上连续，结论仍成立. C C * O x y 例 计算 的值，其中 C 为 1）沿直线段 2）沿折线段 计算复积分的方法： 找出 f(z) 的实部和虚部 写出积分曲线的参数方程 f(z) 在单连通区域内解析且连续到边界C §3 基本定理的推广——复合闭路定理 复合闭路定理 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭 曲线， 是在 C 内部的简单闭曲线，它们互 不包含也互不相交，并且以 为边界的区 域全含于 D，若 f(z) 在 D 内解析，则 C C2 C3 C1 简化条件：若 f(z) 在多