复变函数与积分变化课件复数.ppt

* * 第一章 复数与复变函数 * 第一章 复数与复变函数 §1.1 复数 xiesongfa@126.com 与 积 分 变 换 复 变 函 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 /ec3.0/C35/index.asp 一、教学及考核方式 主要参考书（略） 考试方式： 闭卷 考试成绩： 作业占 20%，考试占 80% 作业： 每周交作业一次 答疑： 每周一次 课堂教学： 40 学时 (练习册) (科技楼南楼813室) 二、教学内容 本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。 复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础 理论课，是工程数学的主要课程之一。 复变函数与积分变换 在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。 复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复 变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形 映射以及解析函数在平面场的应用。 其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。 积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。 第一章 复数与复变函数 复数领域的推广和发展 。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面 为这门学科的发展作了大量奠基工作的 发展。 为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗 贝尔、拉普拉斯等。 则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 (虚数史话) 第一章 复数与复变函数 §1.2 复数的几种表示 §1.1 复数 §1.3 平面点集的一般概念 §1.5 复变函数 §1.4 无穷大与复球面 §1.1 复数 一、复数及其运算 二、共轭复数 一、复数及其运算 1. 复数的基本概念 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， (或者 ) 的数称为复数。 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： 当 y = 0 时， 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 (3) 当 x = 0 时， 称为纯虚数； 就是实数。 将形如 其中 i 称为虚数单位，即 P1 设 与 是两个复数， 如果 则称 与 相等。 它们之间只有相等与不相等的关系。 一、复数及其运算 1. 复数的基本概念 相等 当且仅当 特别地， 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 注 一、复数及其运算 2. 复数的四则运算 设 与 是两个复数， (1) 复数的加减法 加法 减法 (2) 复数的乘除法 乘法 如果存在复数 z，使得 则 除法 P2 一、复数及其运算 2. 复数的四则运算 (3) 运算法则 交换律 结合律 分配律 二、共轭复数 1. 共轭复数的定义 设 是一个复数， 定义 称 为 z 的共轭复数， 记作 。 共轭复数有许多用途。 注 比如 P2 二、共轭复数 2. 共轭复数的性质 其中，“ ”可以是 (2) (3) (1) 性质 P3 解 (1) (2) 证明 P4 例1.1 卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与 负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。 附： 历史知识 —— 虚数史话 两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数． 卡尔丹发现只要把 10 分成 和 即可。 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》 中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。 附： 历史知识 —— 虚数史话 整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量” 。 仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。 意义下的“复数”的名称。 1632 年，笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构的量” 改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今 附： 历史知识 —— 虚数史话 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。 1722 年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理： 其中 n 是大于零的整数。 1748 年，欧拉给出了著名的公式： 并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院