复变函数与积分变换李红华中科技大学.ppt

* 第三章 复变函数的积分 （与实函数中二型线积分类比） §3.1 复积分的概念 线积分 复积分 一个复积分的实质是 两个实二型线积分 dz ? 复积分存在的一个充分条件： 复积分的性质 ： 1 线性性： 例题1 （2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。 解（1） （2）参数方程为 可见积分与路径有关。 例题2 解： 例如 例题3 证明： 例如 练习 例题4 解： 可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。 § 3.2 柯西积分定理 定理1（Cauchy） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零: 注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。 注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有 推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D， 与路径无关仅与起点和终点有关。 于是 是解析函数。 解析函数的导数仍为解析函数 特别地 例如： 注：以上讨论中D为单连通域。 这里D为复连通域。 可将柯西积分定理推广到多连通域的情况 定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则 证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理 推论（复合闭路定理）： (互不包含且互不相交)， 所围成的多连通区域， 例题1 C 如图所示： 解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。 从而 例题2 C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 解： （由闭路变形原理） § 3.3 柯西积分公式 若 f (z) 在D内解析，则 分析： .定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则 ---解析函数可用复积分表示。 [证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当 |z-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d. D C K z z0 R 根据闭路变形原理, 该 积分的值与R无关, 所以 只有在对所有的R 积分 为值为零才有可能。 推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则柯西积分公式成为 ------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值. 推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则 例题1 解： § 3.4 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了. 定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为: 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D. [证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证 按柯西积分公式有 因此 现要证当Dz?0时I?0, 而 f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | ? M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此 L是C的长度 这就证得了当 Dz?0时, I?0. D z0 d C 这就证得了 再利用同样的方法去求极限: 依此类推, 用数学归纳法可以证明: 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1. [解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. Cauchy不等式： 证明： 注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关； 注2： Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。 证明：对复平面上任一点z ， *