复变函数与积分变换经典PPT—复变函数三小结与习题.ppt

复变函数与积分变换 第三章 复变函数的积分小结与习题 一、重点与难点 二、内容提要 1.有向曲线 2.积分的定义 3.积分存在的条件及计算 4. 积分的性质 6.原函数的定义 7. 闭路变形原理 8.柯西积分公式 9. 高阶导数公式 共轭调和函数 三、典型例题 证 例3 计算 解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式 例6 计算下列积分 解法二 线积分法. 解法三 全微分法 例8 已知 求解析函数 ,使符合条件 Thank You! 解 为大于1的自然数. 解法一 不定积分法. 利用柯西—黎曼方程, 因而得到解析函数 因而得到解析函数 解 * x y z S N P 重点与难点 1 内容提要 2 典型例题 3 3 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 有向曲线 复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质 柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式 调和函数和 共轭调和函数 设Ｃ为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定Ｃ的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那末我们就把Ｃ理解为带有方向的曲线，称为有向曲线. 如果Ａ到Ｂ作为曲线Ｃ的正向, 那么Ｂ到Ａ就是曲线Ｃ的负向, ( （1）化成线积分 （2）用参数方程将积分化成定积分 5. 柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理) 由定理得 (牛顿-莱布尼兹公式) 复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 那末 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 10.调和函数和共轭调和函数 任何在Ｄ内解析的函数，它的实部和虚部都是Ｄ内的调和函数. 定理 区域Ｄ内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 例1 计算 的值，其中C为 1）沿从 到 的线段： 2）沿从 到 的线段： 与从 到 的线段 所接成的折线. 解 说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同. 因此 例2 设C为圆周 证明下列不等式. 解 当 时, 解 由柯西-古萨基本定理有 解法二 利用柯西积分公式 因此由柯西积分公式得 解 分以下四种情况讨论：