复变函数六.ppt

显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 定理3 (根值法) 定理3 (根值法) 定理2 (比值法) 例1 解 综上 例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形: 解 (1) 该级数收敛 该级数发散 p=1 p=2 ?该级数在收敛圆上是处处收敛的。 综上 该级数发散。 该级数收敛， 求出收敛半径后再讨论边界值 故该级数在复平面上是处处收敛的. 5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算 ---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 解 代换 解 代换 展开 还原 　分析运算　 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算 作业 P103 30(1)(2),31 P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3) 第六讲解析函数与调和函数的关系 在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。 内 容 简 介 §3.7 解析函数与调和函数的关系 定义 定理 证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: 定义 上面定理说明： 由解析的概念得： 现在研究反过来的问题： 如 定理 公式不用强记！可如下推出： 类似地， 然后两端积分得， 总结起来，公式是由全微分和C-R方程推出来的 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。 例1 解 曲线积分法 将(0,0)到(x,y)拆分成(0,0)到(x,0)，再从(x,0)到(x,y) 故 又解 凑 全 微分 法 又解 偏 积分 法 又解 不定 积分 法 1. 复数列的极限 2. 级数的概念 第 四 章 级 数 CH4§4.1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明 2. 级数的概念 级数的前面n项的和 ---级数的部分和 不收敛 ---无穷级数 定义 设复数列： 　 例1 解 定理2 证明 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题。 性质 定理3 证明 ? 定义 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 解 例2 例3 解 练习： 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 §4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 　 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。