复变函数与积分变换一.ppt

复变函数与积分变换 复变函数与积分变换及应用背景 复变函数与积分变换的主要内容 第一章 复变函数与解析函数 §1.1 复 数 1.1.1 复数的概念 1.1.2 复数的四则运算 1.1.4 乘幂与方根 §1.2 平 面 点 集 1.2.1 区域 1.2.2 Jordan曲线、连通性 §1.3 连续函数 1.3.1 复变函数的定义 §1.4 解析函数 1.4.1 复变函数的导数 1.4.2 解析函数 §1.5 函数可导的充要条件 1.5.1 函数可微的概念 1.5.2 函数可导的充要条件 §1.6 初等解析函数 1.6.1 指数函数 1.6.2 对数函数 1.6.3 幂函数 本章主要内容(一) 本章主要内容(二) 定义1.5 设 在区域D有定义. (1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析, 也称 是 的解析点. (2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 在区域D内解析, 或者称 是区域D内的 解析函数. (3) 设G是一个区域，若闭区域 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 解析. 函数 在 处解析和在 处可导意义 不同，前者指的是在 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 处可导. 函数 在 处解析和在 的某一个邻 域内解析意义相同. 复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导. 反之, 设函数 在区域D内可导, 则对 任意 存在z的某一个邻域U, 使得U ? D, 由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即 在z处解析. 若函数 在 处不解析，则称 是 的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内, 除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数 的孤立奇点. 由例1.9和例1.10知, 函数 是全 平面内的解析函数，但是函数 是处处不解析的连续函数. 根据求导法则，很容易得到下面的结论. 设函数 在区域D内解析, 则 也在D内解析. 当 时, 是 的解析点. 特别地, 多项式P(z)在全平面内解析, 有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 例1.11　证明 在 处可导, 但处处不解析. 证明　根据导数的定义, 因此 在 处可导，且 当 时, 由 得 故 虽然 但是当 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为 所以 不存在，即 在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析. 2 函数可导的充要条件 1 函数可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数 可微与可导的关系？ 定义1.6　设函数 在 的某邻域内有定义, 若存在复常数A, 使得 其中 则称 在 点可微. 引理　复变函数 在点 可导的充分必要 条件是 在 点可微，且 证明　若 存在，设 则 令 则 且 反之，如果 则 令 则 存在. 这个引理表明, 函数 在 可导与在 可微等价. 与一元实函数类似, 记 称之为 在 处的微分.