复变函数与积分变换课堂PPT.ppt

复变函数 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 §1 复数及其代数运算 1. 复数的概念 定义：在实数范围, 方程 　　 2. 复数的代数运算 共轭复数 §2 复数的几何表示 显然, 还有下列各式成立 由复数运算法则, 两个复数 利用直角坐标与极坐标的关系： 另一点N。称N为北极， S为南极。 于复数?来说，实部、虚部与辐角的概念均无意义，但 §3 复数的乘幂与方根 设有两个复数 如果用指数形式表示复数： 　　定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差。 2. 幂与根 则对任意正整数 n, 有 方根 如 n为正整数, 则一个复数的 n 次根不止有一个, 而是 当k为其他整数值代入时，这些根又会重复出现。 §4 区域 1. 区域的概念 平面上以z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆： 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 无界区域的例子 ２.单连通域与多连通域 定义： §5 复变函数 1. 复变函数的定义 定义 例如, 考察函数 2. 映射的概念 定义 §6 复变函数的极限和连续性 1.函数的极限 作当z?z0时, f (z)?A。如图 充分性: 定理二 2. 函数的连续性 如果 f (z)在区域D内处处连续, 就说 f (z)在 D内连续。 其中 P(z)和 Q (z)都是多项式, 在复平面分母不为零的点 定义 如果 定理三 函数 连续的充要条件是 则说 f (z) 在 z0处连续。 在 处 处连续。 和 在 例如，函数 在复平面内 除原点外处处连续，因为 除原点外是处处 连续的，而 是处处连续的。 由定理二和定理三，还可以推得接下来的定理四。 １.乘积与商 于是 那么 　　定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。 从而有 用指数形式表示复数: q2 q2 z2 q1 z1 z1z2 1 O x y 并旋转一个角度 　　，如图所示 相当于将z1的模扩大|z2|倍 则 则定理可以表示为： 由定理进一步可证，如果 当用向量表示复数时， 按照商的定义, 当 时, 有 由乘积公式有 于是 由此得 定理二可简明地表示为： 。根据复数乘法，有 [解] 例1 即为所求的顶点 已知正三角形的两个顶点为 所以 求第三个顶点　。 如图，将 旋转 类似可得 O x y 表示绕 或 得到另一个向量，它的终点 或 。根据复数乘法，有 [解] 例 向量，它的终点即为所求的顶点 已知等腰直角三角形的两个底角的点分别为 所以 ，求顶点　。 如图，将 旋转 类似可得 O x y 表示绕 或 ，长度再缩短 或 得到另一个 n 个相同复数 z 的乘积称为z的 n次幂，记作　 ，即 若定义 ，那么当 n为负整数时上式也成立。 时，则有棣莫弗(De Moivre)公式 特别地，当 下面用棣莫弗公式求方程 的根 ，其中 z 为 已知复数。 设z为己知, 方程 的根　称为z 的n次根，都记为 ，即 有 n 个, 下面就来求出这个根 先不妨令 由棣莫弗公式有 于是 则上式成立，必有 由此，可得 其中， 是算术平方根，所以 时，得到 n个相异的根： 当 在几何上, 不难看出：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。 例如 k = n 时， [解] 例2 求 因为 即 所以 这四个根是内接于中心在原点，半径为 的圆的 正方形的四个顶点，且有 [解] 例 求 因为 即 所以 这四个根是内接于中心在原点，半径为 的圆的 正方形的四个顶点，且有 [解] 例 求方程 因为 即 所以 的所有根。 1.区域的概念 2.单连通域与多连通域 d z0 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 所确定的点集为z0的去心邻域。 设G为一平面点集, z0为G中任意一点。 内点：若存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点 开集：如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集。 区域：若平面点集D是一个开集，且是连通的，也就是 D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接 起来，则称D为一个区域。 边界点：设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 则点P称为D的边界点。 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。 边界： D的所有边界点组成D的边界。 C3 C2 z g1 g2 C1 P x y D O 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆 里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点 z 都满足 |z| M, 则称D为有界的, 否则称为无界的。 满足不等式r1|z-z0|r2的