复变函数义.ppt

本章内容总结 * 一、区域的概念 1. 邻域: 说明 满足不等式|z|R (R0)的一切点(包括无穷 远点)的集合称为无穷远点的邻域. * 2.去心邻域: 3.内点: 用R|z|+?表示无穷远点的去心邻域. 说明 * 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集. 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中 任何两点都可以用完全属 于D的一条折线连结起来. 区域 邻域 * 6.边界点、边界 D的所有边界点组成D的边界.记做?D. 区域D与它的 边界一起构成闭 区域，记做 区域D 边界点 边界 设D是复平面上的点集, z0是一个定点, 若z0 的任何邻域内都含有属于E的点和不属于E的 点, 则称z0是D的边界点 . * 7.有界区域和无界区域: * (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. * 二、平面曲线 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: * 例4 解 所以它的复数形式的参数方程为 * * 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. * 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). * 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 * 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 * 三 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 * 三、典型例题 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). * 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. * 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果 是区域, 是单连通区域还是多连通区域? 这是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 它是单连通区域. 这是以为 右边界的半 平面, 不包括直线 它是多连通区域. 它不是区域. 这是以 为圆心, 以2为 半径的去心圆盘. 这是以i为端点, 斜率为1的半 射线, 不包括端点i. * 四、小结 应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域. 放映结束，按Esc退出. 复数 平面表示法 定义表示法 三角表示法 曲线与区域 球面表示法 复数表示法 指数表示法 复数的运算 共轭运算 代数运算 乘幂与方根 向量表示法 * 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 4.复数的三角表示和指数表示 * 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 * 故三角表示式为 指数表示式为 * 例2 解 (三角式) (指数式) * 5. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. * 6. 复数和差的模的性质 * 例3 求下列方程所表示的曲线: 解 * 化简后得 * 1、乘积与商 二、复数的乘幂与方根 或 * 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 定理一 两个复数的积的模等于它们的模的积; 两个复数的积的辐角等于它们的辐角之和. * 可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. * 例4 解 * 2、幂与根 n次幂: * 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 推导过程如下: 棣莫佛公式 * 根据棣莫佛公式, * 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. * 从几何上看, * 例7 解 即 * * 三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便: 放映结束，按Esc退出. * 思考题 是否任意复数都有辐角? * 思考题答案 否.