复变函数共形影射.ppt

* 其中k为常数. (6.3.1) * 即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z=l映射成w=0, 所以上式必将Im(z)0映射成|w|1. 反之, 形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1. 因为当z取实数时 * 化简后即得 也可以在x轴上与在单位圆周|w|=1上取三对不同的对应点来求:[解法二] 在x轴上任意取定三点:z1=-1, z2=0, z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3=-1, 则因z1?z2?z3跟w1?w2?w3的绕向相同, 由(6.3.1)式得所求的分式线性映射为 * 这也是一个把上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1, 且将点z=i映射成圆心w=0的映射. 注意: 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的, 但不同于(6.3.3)的分式线性映射. 此可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的, 而是有无穷多. 这从(6.3.2)中的q可以任意取实数值即可明白. (6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的. 如果以l=i, q=0代入(6.3.2), 则 * 因为 故有 【例3】求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式线性映射.[解] 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.2)得 * 从而得所求的映射为 * x 1 y (z) O O u v (w) 1 a * [解] 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与 * 所以 |k|=1, 即k=eij. 这里j是任意实数. 由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点 z =1 代入上式, 得 * 反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点: 同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w = 0. 所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是 * 【例5】 求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0, w(1/2)0的分式线性映射.[解] 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|1的中心. 所以由(6.3.5)得 * * 【例6】 求将Im(z)0映射成|w-2i|2且满足条件w(2i)=2i, arg w(2i)=-p/2的分式线性映射.[解] 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|2映射成|z|1. 但将Im(z)0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为 * * 2i (z) O (z) 2i (w) w=2(i+z) * 【例7】 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.[解] z=z4将所给角形域0arg zp/4映射成上半平面Im(z)0. 又从上节的例2知, 映射 * (z) O O (z ) 1 (w) z = z4 * a j0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O -i i 【例8】 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射. * a O (z) a j0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O -i i 1 * 其中k为待定的复常数. [解] 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=?, 并使月牙域映射成角形域0argzp;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0, 即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射. 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数: * * x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a-h a a+h B C D 【例9】 求把具有割痕Re(z)=a, 0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射. * x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a-h a a+h B C D O (z1) C B D ih -h2 C O B D (z2) C O Bh2 D (z3) O (z4) C B D -h +h z1=z-a z2=z12 z3=z2+h2 w=z4+a [解] 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度