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五 高阶导数公式 六 总结：本节五个定理都是为积分计算服务 1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。 例8 分部积分法 例9 解 定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则 四 Cauchy积分公式 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。 此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1 例10 定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。 等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。 例 11 例12 提示：曲线包围2个奇点，先用复合闭路变形原理化简 七 作业习题 第三章习题 7，8，9题 有点多啊！ Class is over 玩去咯！ §3.2 复变函数积分的重要定理 一 Cauchy-Goursat定理 二 复合闭路变形原理 三 Newton-Libnize公式 四 Cauchy积分公式 五 高阶导数公式 六 总结 七 作业习题 引言：积分与路径无关的刻画 在单连通区域D内，积分 与路径L无关的充分必要条件是： Cauchy-Goursat定理柯西-古萨定理 例1 解 根据柯西-古萨定理, 有 例2 解 函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有 例3 解 根据柯西－古萨定理得 二 复合闭路变形原理 柯西古萨定理的推广 当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。 1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理 1 闭路变形原理 本定理直观意义为函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。 即可看作柯西-古萨定理的推广 2 复合闭路变形原理 称C+C1- +C2- +···+Cn-为复围线,记为Γ，包围着绿色复连通区域D。 函数f(z)在绿色复连通区域D解析，紫色阴影是函数的奇点。 设C为简单闭曲线，Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线，互不相交互不包含，C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 则成立: 本定理直观意义为函数沿闭曲线积分, 闭曲线作连续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而积分值不变。可看作柯西古萨定理的推广 解 依题意知, 例4 根据复合闭路定理 例5 解 由复合闭路定理, 三 Newton-Libnize公式 1 原函数 不定积分 变上限函数 Newton-Libnize公式(N-L) 1 原函数定义 2 不定积分定义 f(z)的全部原函数称为f(z)的不定积分， 记为： 例如： 3 变上限函数 4 Newton-Libnize公式(N-L公式) 例6 解 凑微分法，第一换元法