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解： §2 复数的几何表示 1. 点的表示 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。 2. 向量表示法 o x y (z) P(x,y) x y ? z=0时，幅角无意义。 幅角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加p。 当z落于第三象限时，减p . 根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 o x y (z) z1 z2 z1+z2 o x y (z) z1 z2 z2- z1 3. 三角表示法 可以用复数的模与辐角来表示非零复数z 4. 指数表示法 y o x 例1 例2 例3 例1 解： 例2 解： 例2 解： 例3 证明： 例3 证明： §3 复数的乘幂与方根 1. 复数的乘积与商 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法 集合相等 定理： 对除法，有 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 o x y (z) z1z2 z2 乘法的几何意义 例1 解： 2. 复数的乘幂 则有： ——德摩弗 (De Moivre)公式 3. 复数的方根 * －理学院信息与计算科学系－ 【编码理论基础】电子教程 * * * －理学院信息与计算科学系－ * * －理学院信息与计算科学系－ －理学院信息与计算科学系－ 【编码理论基础】电子教程 * －理学院信息与计算科学系－ 【编码理论基础】电子教程 * * －理学院信息与计算科学系－ 【编码理论基础】电子教程 * * * －理学院工科数学基地－ －理学院工科数学基地－ 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 * 《复变函数与积分变换》 z P N 《复变函数与积分变换》 主讲教师：赵景霞 zhaojingxia@hrebeu.edu.cn 课程基本介绍 课程名称：复变函数与积分变换 开课学时： 48 学时 考核方式： 30分平时成绩（考勤+作业） 70分卷面成绩（期末考试） 答疑时间及地点：理学楼425 周四、周五到11号楼书库购买作业本， 价钱3元，必买 研究对象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 保形映射，积分变换等。 复数与复变函数、解析函数、 课程基本介绍 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。 复变函数的发展过程 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。 直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 复变函数的发展过程 复变函数的发展过程 1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 复变函数的发展过程 　　二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。 复变函数的发展过程 第一章 复数与复变函数 第一讲 复数及复平面 学习要点 掌握复数的意义及代数运算 掌握复平面与复数的表示方法 掌握复数的乘幂与方根 §1 复数及其代数运算 1. 复数的概念 复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)