复变函数总结及习题.ppt

* 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. (3) 开集 * (5) 边界点、边界 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点. (7)有界区域和无界区域 D的所有边界点组成D的边界. (6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 * 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). (8) 简单曲线 * (9) 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 简单闭曲线的性质 * (10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域. * 7. 复变函数的概念 (1)复变函数的定义 * (2) 映射的定义 * 函数极限的定义 注意: 8.复变函数的极限 * 极限计算的定理 * 与实变函数的极限运算法则类似. 极限运算法则 * （1）连续的定义 9.复变函数的连续性 * 连续的充要条件 连续的性质 * 有理整函数(多项式) 有理分式函数 特殊的: 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. * 三、典型例题 * * 其几何意义是三角形任意一边的长不小于 其它两边边长之差的绝对值. * * 解 * 解 * 解 * 例6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. 解 是实数轴,不是区域. 是以 为界的带形单连通区 域. 解 * 是以 为焦点,以3为半 长轴的椭圆闭区域,它不是区 域. 不是区域，因为图中 解 解 在圆环内的点不是内点. * 例7 函数 将 平面上的下列曲线变成 平 面上的什么曲线？ 解 又 于是 表示 平面上的圆. (1) * 解 表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆. 放映结束，按Esc退出. * 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复数运算和各种表示法 2. 复变函数以及映射的概念 1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2. 映射的概念 * 二、内容提要 复数 复变函数 极限 连续性 代数运算 乘幂与方根 复数表示法 几何表示法 向量表示法 三角及指数表示法 复球面 复平面扩充 曲线 与区域 判别定理 极限 的计算 * 1.复数的概念 * 1) 两复数的和 2) 两复数的积 3)两复数的商 2. 复数的代数运算 * 4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质 * 3.复数的其它表示法 （1）几何表示法 * （2）向量表示法 复数的模(或绝对值) * 模的性质 三角不等式 复数的辐角 * 辐角的主值 * （3）三角表示法 利用欧拉公式 复数可以表示成 称为复数 z 的指数表示式. （4）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 * 4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 则有 * 几何意义 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 * 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 则有 * 2) 幂与根 (a) n次幂: * (b)棣莫佛公式 * 5.复球面与扩充复平面 南极、北极的定义 (1) 复球面 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 复球