复变函数详细解.ppt

复球面与无穷远点 复平面点集与区域 平面图形的复数表示 复 变 函 数 复变函数的极限与连续 （3） 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4） 例： 指出不等式 中点z的轨迹所在范围。 解： 因为 所以 于是有 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 定义： 我们主要考虑单值函数 f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 f(z)是满射 f(z)是双射 f(z) 既是单射，又是满射。 浙江大学 * 复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy@zju.edu.cn 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Laplace变换 第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 复数及其代数运算 a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y 规定： b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。 c) 共轭复数： 互为共轭复数 容易验证 d) 复平面 一对有序实数（x，y） 平面上一点P 复数 z = x + i y x y z = x + i y O 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面 e) 复数的几种表示法 几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 x y O 加法运算 x y O 减法运算 复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为 三角式： 指数式： 复数的 模 复数的 幅角 讨论： 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把 的幅角称为Arg z的主值。记为 2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。 设 定理 注意多值性 x y O 指数形式表示 推广至有限个复数的乘法 除法运算 或者 例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。 x y O 复数的乘幂 n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 复数的方根 设 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 的所有w值为z的n次方根，并且记为 设 则 即 当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根： 例： 即 z P N 球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。 P 对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。 从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。 由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点 扩充复平面 ＝ 复平面＋ 约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 等也没有意义。 N （1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 （5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。 （6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集 （10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有 （11）简单曲线、光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 则称 D为有界区域。 简单曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。 没有交叉点。 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。 例： Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Z平面上