复变函数版课件.ppt

复数在几何上的应用 1、 连接 及 两点的线段的参数方程为 过 及 两点的直线的参数方程为 几何意义 ： 将复数z1按逆时针方向旋转一个 角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 o θ1 θ2 z1z2 z1 z2 θ2 同理，对除法有 即 后一个式子也应理解为集合相等。 五、复数的乘方与开方 1、复数的乘方 2、复数的开方 1.复数的乘方 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作 ，即 设 则 特别：当r=1时，则有 此实称为棣莫佛(De Moivre)公式。 例如： （指数形式） 2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设 则称复数 为复数 容易得 其中r=|z|,θ=argz. 例、求 的所有值。 解：由于 几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。 x y o §1.3平面上点集的一般概念 §1.4复球面与无穷大 §1.5复变函数  §1.3 平面点集的一般概念 一、开集与闭集 二、区域 三、平面曲线 一、开集与闭集 邻域 平面上以 为心， 为半径的圆的内 部所有点的集合称为点 的 —邻域， 记作 ，即 称集合 为 的 去心邻域,记作 邻域 平面上以 为心， 为半径的圆的内 部所有点的集合称为点 的 —邻域， 记作 ，即 z0 δ 若存在ρ0,使得 E的内点. E z0 z0 . 开集 如果点集 的每一个点都是 的 内点，则称 为开集. 闭集　如果点集 的余集为开集，则称 为. 闭集 连通集 设是 开集，如果对于 内任意 两点，都可用 内折线连接起来， 则称开集 是连通集 定义 若 ， ，均有 则称 为有界集，否则称 E 为无界集． 例如：|z|1, Rez0, 1Imz2,是开集 无界集 二、区域 区域（或开区域)连通的开集称为区域 , 或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起， 称为闭区域，记为 注意：区域都是开的，不含它的边界，所以表示区域的不等式一般不带等号，但个别除外。 o 1 例1.5 平面上以点 为心，R为半径的圆周内部（即圆形区域）： 例1.6 平面上以点 为心， 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）: 例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周 为边界，且均为有界域 若存在满足 且 的 ,使 ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约（Jordan）曲线； 除 外无其它重点的连续曲线 称为简单闭曲线。 三、平面曲线 1. 简单曲线、简单闭曲线 2. 光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 的方程为 若 ， 在 上可导,且 , 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 3. 单连通域、多连通域 设 是复平面上一区域，如果在 内任 作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都 在 中，则称区域 为单连通区域；否则 称 为多连通区域或复连通区域. 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空 （点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域 对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿C绕行一周时，C的内部始终在 C的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称 C为的正方向（或负方向）． 单 逆时针 外逆内顺 z1 z2 Z z 由此可得三点z1 ，z2 ，z3共线的充要条件是 2 、 平面上以原点为心，R为半径的圆周的方程为 平面上以 为心， R为半径的圆周的方程为 3 、z平面上实轴的方程为 , 虚轴的 方程为 4、 z1 z2 z3是等边三角形 向量z2-z1