复变函数复数与复变函数.ppt

例6 计算 解 因为 所以 即 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面. 1.3 平面点集 邻域 平面上以 为心， 为半径的圆： 内部所有点的集合称为点 的 —邻域，记为 ，即 称集合 为 的去心 —邻域， 记作 . 开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集. 闭集　如果点集 的余集为开集，则称 为闭集. 连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 . 1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 ， 且 的 ，使 ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， 是一条简单闭曲线（如图1.9）. 图1.9 在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线， 是简单闭区域，图1.11中的 ， 不是简单曲线，但 是闭曲线. 图1.10 图1.11 2. 光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 的方程为 若 ， 在 上可导且 ， 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 3. 单连通域、多连通域 设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域. 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12 ）. 图1.12 1.4 复变函数 1.4.1 复变函数的概念 定义1.1 设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量， 称为因变量，点集 称为函数的定义域. 例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设 ， ，代入 得 比较实部与虚部得 ， 例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 ， （ ） 化为一个复变函数. 解 设 ， ， 则 将 ， 以及 代入上式，经整理后，得 1.4.2 映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点 （如图1.13）. 图1.13 1.4.3 反函数与