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复变函数起源简介 数学从产生、有发展到现在, 已成为分支众多的学科了, 复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数, 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数, 复变函数论主要就研究复数域上的解析函数, 因此通常也称复变函数论为解析函数论, 简称函数论。 我们知道, 在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=0(a≠0)时, 如果判别式b2- 4ac0, 就会遇到负数开平方的问题, 最简单的一个例子是在解方程x2+1=0 时, 就会遇到开平方的问题。 复变函数起源简介 十六世纪中叶, 意大利卡尔丹( Cardan,1545) 在解三次方程时, 首先产生了负数开平方的思想, 他把40 看作5+!5 与5-!- 5 的乘积, 然而这只不过是一种纯形式的表示而已, 当时, 谁也说不上这样表示究竟有什么好处。 为了使负数开平方有意义, 也就是要使上述这类方程有解, 我们需要再一次扩大数系, 于是就引进了虚数, 使实数域扩大到复数域。但最初, 由于对复数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们进行计算又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人们把复数看作不能接受的“虚数”。 复变函数起源简介 直到十七世纪和十八世纪, 随着微积分的发明与发展, 情况才逐渐有了改变。另外的原因, 是这个时期复数有了几何的解释, 并把 它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。 复变函数论产生于十八世纪。1774 年, 欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时, 法国数 学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中, 就已经得到了它们。因此, 后来人们提到这两个方程, 把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方 程”。 复变函数起源简介 到了十九世纪, 上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时,作了更详细的研究, 所以这两个方程也被叫做“柯西- 黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述, 是由瑞士数学家欧拉( Euler) 作出的。他在1777 年系统地建立了复数理论, 发现了复指数函数和三角函数之间的关系, 创立了复变函数论的一些基本定理, 并开始把它们用到水力学和地图制图学上, 用符号“”作为虚数的单位, 也是他首创的。此后, 复数才被人们广泛承认和使用。 复变函数起源简介 在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元n 次方程a0xn+a1xn- 1+L+an- 1x+an=0(a0≠0), 其中a0、a1、?an 都是复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在复数域内我们就可以定义负数的对数。 复变函数起源简介 复变函数论的全面发展是在十九世纪, 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样, 复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支, 并且称为这个世纪的数学享受, 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪, 复变函数的理论经过法国数学家柯西( Cauchy) 、德国数学家黎曼( Riemann) 和维尔斯特拉斯( Weierstrass)的巨大努力, 已经形成了非常系统的理论, 并深刻地渗入到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支; 同时,它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。 复变函数起源简介 二十世纪以来, 复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面, 与数学中其它分支的联系也日益密切。致使 经典的复变函数理论, 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且, 还开辟了一些新的分支, 如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外, 在种种抽象空间的理论中, 复变函数还常常为我们提供新思想的模型。 复变函数起源简介 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔, 法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分, 他们都是创建这门学 科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初, 复变函数论又有了很大的进展, 维尔斯特拉斯的学生, 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作, 开拓了复变函数论更广阔的研究领域, 为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数起源简介 从柯西算起, 复变函数论已有170 多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过 一些学科的发展, 并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。现在, 复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题, 所以它将继续向前发展, 并将取得更多应用。 第一章 复数与复变