复变函数课件。.ppt

准备工作 研究对象：解析函数 应用背景：数域扩张、欧拉恒等式、绘图、数学分支、物理学等方面的应用 预备知识：微积分 准备工作 研究对象：解析函数 应用背景：数域扩张、欧拉恒等式、绘图、数学分支、物理学等方面的应用 预备知识：微积分 复数: 具有z=x+iy形状的数。 其中： i是虚数单位(-1的平方根) ；（j） x和y是实数，分别为z的实部和虚部； 复数的四则运算: 2 复平面: 复数域C也可以理解成平面R×R，我们称C为复平面。作映射： 3 模和辐角: 基本不等式: 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： 复数的三角表示: 非零复数的三角表示定义为： 三角表示的乘法： 利用复数的三角表示可以更简单的表示复数的乘法与除法 ，设 三角表示的除法： 同理，对除法，也有： 例4、求所有值： 解：由于 解：利用 例9、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。 解： a,c,b,z构成一个圆内结四边形 或在同一侧 作业:第42页 2,3,4 第45页 2,3,6 * （1） 曲线的复数方程 6 复数在几何上的应用举例 （2） 应用复数证明几何问题 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 * 例10 证 下页 返回 上页 * 两边平方, 并化简得 上面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. 下页 返回 上页 * 小结与思考 1、本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算. 2、学习了复数的模、辐角;复数的各种表示法及简单的复数几何应用. 并且介绍了复平面. 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛(de Moivre)公式 下页 返回 上页 * * 中国地质大学（北京） 赵琳琳 zll@cugb.edu.cn 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 第一节 复数 1、复数域 2、复平面 3、复数的模与辐角 第一章 复数与复变函数 4、复数的乘幂和方根 5、共轭复数 6、复数在几何上的应用举例 * 虚数单位: 对虚数单位的规定: 1 复数: 下页 返回 上页 * 虚数单位的特性: …… 下页 返回 上页 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz≠0，则z为一个虚数； 如果Imz≠0，而Rez=0，则z为一个纯虚数。 下页 返回 上页 * 例1 解 令 下页 返回 上页 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。 下页 返回 上页 ? 则复数域C与平面R×R建立了1-1对应（双射）。 R×R平面上：横坐标轴称为实轴； 纵坐标轴称为虚轴； 一般称为复平面，z-平面，C等。 下页 返回 上页 复数与平面中的向量一一对应。 实轴正向到非零复数对应向量间的夹角称为复数的辐角，为： 向量的长度称为复数的模，为： 0 x y x y q z=x+iy |z|=r 下页 返回 上页 * 辐角主值的定义: 当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. 下页 返回 上页 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. 复数加、减法的几何表示如下图： 下页 返回 上页 下页 返回 上页 利用直角坐标与极坐标的关系 再利用欧拉公式 复数的指数表示式 下页 返回 上页 例2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 下页 返回 上页 * 故三角表示式为 指数表示式为 下页 返回 上页 则有 下页 返回 上页 复数乘法的几 何表示如下： 几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度Arg z1 . 0 1 下页 返回 上页 下页 返回 上页 * n次幂: 4 复数的乘幂与方根： 下页 返回 上页 * 棣莫佛公式 推导过程如下: 棣莫佛公式 下页 返回 上页 * 根据棣莫佛公式, 下页 返回 上页 故三角表示式为 指数表示式为 例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 下页 返回 上页 所以有四个根 下页 返回 上页 * 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 例5 解 5 共轭复数： 下页 返回 上页 * 共轭复数的性质: 下页 返回 上页 下