复变函数课件：复变函数的积分.ppt

1、复变函数积分的定义 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 2 复变函数积分的性质： 复变函数积分的性质： 例1 本节结束 谢谢！ 第二节 柯西积分定理 引言: 3.3.单连通区域的Cauchy积分定理 3.3.4 复周线情形的Cauchy定理 3.2.4原函数与不定积分 2.3.5 小结与思考 柯西资料 古萨资料 本节结束 谢谢！ 第三节 柯西积分公式及其推论 1 第三节 柯西积分公式 解析函数的无穷可微性 柯西不等式与刘维尔定理 摩勒拉定理 3 柯西不等式与刘维尔定理： 定理4.3的证明： 注解： 刘维尔定理： 4 莫勒拉定理： 莫勒拉定理： 本节结束 谢谢！ 1. 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理: 并注意定理成立的条件. 2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点. 常用结论: 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容. 思考题: 1. 应用柯西–古萨定理应注意什么? 答案: (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用. 2.复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题? 答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法. 使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向. 3. 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 答案 两者的提法和结果是类似的. 两者对函数的要求差异很大. Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France Goursat Born: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France §3.5柯西积分公式 若 f (z) 在D内解析，则 分析： .定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则 ---解析函数可用复积分表示。 [证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当 |z-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d. D C K z z0 R 根据闭路变形原理, 该 积分的值与R无关, 所以 只有在对所有的R 积分 为值为零才有可能。 推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq, 则柯西积分公式成为 ------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值. 推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则 例1 解： § 3.6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的 值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实 变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的 导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导 数存在了. 关于解析函数的高阶导数我们有下面定理: 定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为: 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D. [证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证 按柯西积分公式有 因此 现要证当Dz?0时I?0, 而 f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | ? M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此 这就证得了当 Dz?0时, I?0. D z0 d C 这就证得了 再利用同样的方法去求极限: 依此类推, 用数学归纳法可以证明: 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1. [解] 1) 函数