复变函数课件高阶导数.ppt

第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考 * 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 定理 证 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 再利用以上方法求极限 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例1 解 根据复合闭路定理 例3 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 例4 解 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 例5 (Morera定理) 证 依题意可知 参照本章第四节定理二, 可证明 因为解析函数的导数仍为解析函数,