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第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 §2 复数的几何表示 §3 复数的乘幂与方根| §4 区域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性? §1复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 1、运算法则 2、运算规律 3、共轭复数运算法则 三、例题? §2复数的几何表示 一、复平面 1、复平面定义： 2、用向量表示复数 3、复数的三角形式，指数形式 4、复数的模的性质 5、例题 二、复数方程与平面曲线 1、已知平面曲线方程求其对应的复数表达式 2、已知复数方程求对应的平面曲线表达式? §3复数的乘幂与方根 一、复数乘积与商的模和幅角 1、乘积的模和幅角 2、商的模和幅角 二、复数的乘幂与方根 1、乘幂 2、方根 3、例题? §4区域 一、区域 1、复平面上点的邻域 2、开集 3、区域 4、例题 二、单连通域，多连通域 1、简单曲线 2、单连通域，多连通域? §5复变函数 一、复变函数的定义 1、定义1 2、例题 二、映射 1、定义2 2、点的映射 3、角的映射 4、曲线的映射 5、平面图形的映射 6、例题? §6复变函数的极限和连续性 一、复变函数的极限 1、定义 2、性质 二、复变函数的连续性 1、定义 2、定理? 运算法则 、 运算规律 共轭复数运算法则 [例1] 设 求 。 [例2] 设 ， 求 。 [例3] 设 ， 证明： 复平面定义 用向量表示复数 的求法 复数的三角形式，指数形式 复数的模的性质 证明： Proof： 证明： ， 方法二：代数方法 [例1] 化 三角形式，指数形式。 [例2] 求 的模，幅角。 已知平面曲线方程求其对应的复数表达式 已知复数方程求对应的平面曲线表达式 乘积的模和幅角 商的模和幅角 乘幂 方根 [例1]　求　 的n个根 [例2]　求 [作业] P31 1（3，4） 2 6 8（3，5） 12（3） 复平面上点的邻域 开集 3、区域 [例1] 判断下列点集是否为区域 1、简单曲线 图形特点 2、单连通域，多连通域 一、复变函数的定义 [例1] 定义 点的映射 角的映射 曲线的映射 平面图形的映射 例题： 平面上曲线 在 映射下，求 平面上的曲线方程。 定义： 性质 定义 定理 [作业] P32 14(1) 16(1) 21(1,6) 22(1,3,4,) 25(1,2,3) 26(1) 27(1,2) 返 回 由： 模 幅角 推广： ? 推广： ? ╬ 返 回 由： 模 幅角 ╬ 返 回 定义：称 为 的 次幂。 定义： 则： 当： 时， 此式称为棣莫弗（De Moivre）公式 ╬ 返 回 定义：称 的n次方根为 求法：设 则由 有： 说明： 其模相等，幅角相差 。 n边形的n 个顶点。 2 、n个根表示以原点为圆心，以 为半径的原内接正 1、由于只有n个根，所以当 重复出现。 因此z的n个不同的n次方根， ╬ 例二 解：由 所以：1的n个根为 所以： ╬ 上一页 作 业 解：由 所以： 设四个根为： 即：由于四个根的每个角相差 ，故 对角线互相垂 直平分，所以四个根为 正方形的顶点。 ╬ 返回 定义： 复平面上以 为中心， 为半径的圆的内 部点的集合 称为 称为去心邻域 的 邻域； 返回 1、设G为一个点的集合， 若存在 的一个邻域A，满足 （1）若存在 的一个邻域A， ，则称： 为内点； （2）若存在 的一个邻域B， ，则称： 为外点； （3）若存在 的一个邻域C， ，则称： 为边界点。 2、由内点组成的集合称为开集。 返回 ╬ 1、定义：若平面上点集D满足 （1）、D是一个开集 （2）、D是连通的 则称：D为平面上的区域（开区域） 2、例如 集合 都是区域 返回 ╬ 下一页 不能由一条完全属于此点集的折 不是区域，因为 而 线连接起来，但它是一个开集。 返回 ╬ 1、 解：由 2、 解：由原不等式 从而可知：D的边界有些为内点 有些为边界点 ，称为半开半闭区域 。 返回 ╬ 是两个连续的实函数，则 设 表示一条平面曲线。这条曲线可以用参数方程 若 ，且 而有 则称 表示。　 为这条曲线的重点（即：通常认为的交点）。 没有重点的曲线称为简单曲线；若 的简单 曲线称为简单闭曲线。 返回 ╬ 下一页 例如： 是一条简单曲线； 1、 不是一条简单曲线（有重点 2、 ╬ 上一页 返回 设D是一