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复变函数论--
* * * 第二节 柯西积分定理 一、问题的提出 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及解析区域的连通性有关. 二、柯西积分定理 定理中的 C 可以不是简单曲线.(定理3.4) 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 D 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立. 定理3.9 定理3.3’ 练习： 解 根据柯西积分定理, 有 练习： 证 由柯西积分定理, 由柯西积分定理, 由上节例4可知, 一些例子 情况一、二都可以用例3.2 练习： 解 根据柯西积分定理得 例3.2 i -i o (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用. 应用柯西积分定理应注意什么? 柯西积分定理的应用 证毕 由上述推论可知:解析函数在单连通域D内的积分只与起点和终点有关, 原函数与不定积分 于是得到: 复变函数的“牛顿-莱布尼兹公式” 至此，有了四种求复变函数曲线积分的方法 1、任何函数在曲线上的积分，可以由定义来求； a:求出曲线的参数方程，换元； b:将复变量的函数变为实变量函数求积分； 2、单连通域内解析函数在闭曲线的积分恒为0； 3、单连通域内解析函数积分只与起点和终点有关，和路径无关，因此可以任意选择路径； 4、牛顿-莱布尼茨公式。 此外，还需记住一个重要的积分公式： 4.典型例题 例1 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例2 解 (使用了微积分学中的“凑微分”法) 例3 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 另解 此方法使用了微积分中“分部积分法”
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