多元函数的极限与连续...ppt

第一节 例1 2. 求二重极限的常用方法 例3 例5 例5-2 3. 多元函数的极限 备用题 例2-1 例3-1 例3-2 例5-1 讨论函数 解 四、 多元函数的连续性 定义11.3 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 如果 则称 的间断点 . 则称函数 连续. 连续. 记作 定义11.4 定义在 D 上, 如果 为函数 函数 不连续. 设二 元函数 则称此函数在 D 上 设函数 例如, 函数 在 (0 , 0)点极限不存在(例5(2)), 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在其定义区域内连续. 性质1 (有界性与最大最小值定理) 且能取得它在 D 上的最大值 M 及最小值 m ; 闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质: 在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在D上有界, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于它在 D 上的最大值 和最小值之间的一切值. 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭区域上的多元连续函数的性质: 有界性定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在其定义区域内连续 1. 设 求 解法1 令 设 求 解法2 令 即 解 例2-2 解 而 则 故 此函数定义域 不包括 x , y 轴 化为一元函数极限 解 证 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 一、平面点集 n维空间 二、 n元函数 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的极限与连续 第十一章 一、平面点集 n维空间 1. 平面点集 称为点 P0 的?邻域. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合， 若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在平面上, 称为平面点集，记作 (1) 邻域 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在 U(P)? E , ? 若存在 U(P)∩ E = ? , ? 若点 P 的任一邻域 U(P) 中既有属于 E的点，也有 则称 P 为 E 的内点, 例如 ； 则称 P 为 E 的外点，例如 ; 则称 P 为 E 的边界点，例如 . 不属于E的点 , (2) 内点、外点、边界点 1 2 (3) 聚点 若对任意给定的正数? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E. 聚点可以为 E 的内点 或E的边界点 注. 1o 内点一定是聚点； 2o 边界点可能是聚点, 也可能不是聚点； 但 的点属于 E , 的点不属于 E. 则点集 中的点都是E的内点； 点集 中的点都是E的聚点， E 例如: 设点集 x y o D (4)开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 ?E? E, 则称 E 为闭集； ? 若点集D中任意两点 ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. D的折线相连, ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如， 是闭集、连通集、闭区域. 都可用一完全属于 则称 D 是连通的 ; 是开集、连通集、是区域； 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o ? 对点集E , 若存在正数 K , 使对一切点 P? E, P与原点 O的距离 ?OP?? K , 则称 E 为有界点集； 否则，称为无界点集 . 2. n 维空间 n 元有序数组 的全体所构成的 中的每一个元素 称为该点或该n维 集合,记作 即 一个点或一个n维向量, 当所有坐标 称该点为 中的坐标原点, 记作O . 或n维零向量, 向量的第 k 个坐标 . 称为 中的 的距离记作 规定为 二、 n元函数 ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 引例: 定义11.1 变量 z 按照一定的 规律与之对应，则称 z 是 x, y 的二元函数，记做 其中，x, y 称为自变量，z 称为函数（或因变量）。 设有三个变量 x, y, z, 如果对变量 x, y 在一定范围D内所取的每一对值， 自变量x, y 的取值范围D称为这个二元函数的定义域。 类似可以有