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* * 第四章 刚体的转动 * 例 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 再求线加速度及绳的张力. 静止落下距离 时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为 A B C A B C O O 解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 . 如令 ，可得 （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 A B C （3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 ，转动定律 结合（1）中其它方程 A B C 1 质点的角动量 若质点做圆周运动，则相对圆心的角动量 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量 大小 的方向符合右手法则. 一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率. 2 质点的角动量定理 由于: 恒矢量 冲量矩 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 3 质点的角动量守恒定律:质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量. 微分形式: 积分形式: 其中: 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 2 刚体定轴转动的角动量定理 O 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 ，则 若 讨论 1 角动量守恒条件的理解 2)受力,但力F方向指向转轴 1)不受力; 例: i) ii) 2 内力矩不改变系统的角动量. 3 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对同一转轴的角动量； 4 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定律之一。 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等 例如:光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加一对大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中，细杆的动量是否守恒/，对杆中心点O的角动量是否守恒？动能是否守恒？ 注意区分：角动量守恒与动量守恒的条件。 合外力为零，则系统的动量守恒。 合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。 合外力矩作正功，则系统的动能不守恒。 角动量守恒定律的两种应用： 1. 转动惯量保持不变的单个刚体。 2. 转动惯量可变的物体。 花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速. ω 例 质量为m、半径为R的转台，可绕过中心的竖直轴转动，如图，质量为M的人站在台边缘，最初，它们都静止，后来人开始以角速度ω跑动，求转台的转动角速度 解 由于人和转台组成的系统中所受合外力为0 所以M=0 所以角动量守恒 转台的转动惯量 负号表示转台的转动方向与人的方向相反 ω 例 一质量为M 半径为R 的转台，以角速度?a 转动,转轴的摩擦不计。1) 有一质量为m 的蜘蛛垂直地落在转台边缘上，求此时转台的角速度?b ;2) 如果蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心，当它离转台中心距离为r 时,转台的角速度?c 为多少？设蜘蛛下落前距转台很近。 ? 解: 例: 质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性小球飞来，与细杆作完全非弹性碰撞，问1）在小球与细杆相碰过程中：2）在小球与细杆一起转动的过程中： 球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过O点的轴的角动 量是否守恒？机械能是否守恒？ 1)合外力不为零，则系统的动量不守恒。 合外力矩为零，则系统的角动量守恒。 发生的是完全非弹性碰撞，则系统的 机械能不守恒。 2)合外力不为零，则系统的动量不守恒。 合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。 在转动过程中只有重力作功，则系统的机械能守恒。 圆锥摆 子弹击入杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .