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* 第3章 功和能 本章重点：3.1；3.2；3.3；3.4 本章作业： 3.1 功 保守力 力对空间的积累 ？ 3.1.1、功（work） 由 所作的功∶ 1、外力对质点的功 元功： 直角坐标下： 2、多个力作用时的功（对质点） 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 （1）功是标量（可正、可负、可为零） （2）功与路径有关，是过程的函数（过程量） （3）功是力对空间的积累 （4）功的单位为焦耳（J） 说明 1 弹簧弹力的功。 解 当物体处于 x 处时所受的弹力为： 物体由 x a 移动到 x b 处时弹性力所作的功为： 由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。 弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。 3.1.2、几种常见力的功 2 重力的功 作用于质点上的重力 位移元 在由P1到P2的过程中重力做功为: 重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。 3 万有引力的功。 m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到r b 。求引力对m1 所作的功。 解： 讨论 ①万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。 ②在不同的位置，其功的正负和数值不同，在c,d点A=0,在f点附近作正功，在e点附近作负功。 ③轨道为圆形时，A=0. 4 摩擦力的功 质量为m的质点，在固定的粗糙水平 面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到 末位置P2，路径长度为s，如图所示。 由于摩擦力的方向总是与速度的 方向相反。所以元功 质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为: 摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。 3.1.3、保守力与非保守力 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关． 1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等 保守力的环流等于零。 3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推动力等 2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。 证明： 平均功率： 瞬时功率： 3.1.4、功率(power) 表示作功快慢的物理量 定义：功随时间的变化率. SI单位: 焦耳/秒 (瓦特) 3.2 势 能 3.2.1、 势能 从3.1中得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为 与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关 。保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能： 积分路径是任意的。 质点从 a点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。 重力势能为 万有引力势能为 弹性势能为 ③ 只有保守力场才能引入势能的概念。 ① 势能是属于整个系统的。 ② 势能只有相对的意义，在零势能点确定之后， 各点的势能才具有唯一的确定值。 说明 质点在保守力场中任意两点（如点a和点b）的势能差等于把质点 从a点经过任意路径移到b点的过程中保守力F所做的功。即 得重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 可统一写成 3.2.2、保守力与势能梯度 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点 势能梯度矢量的负值。 — 哈密顿算符 3.3.1、质点的动能定理 末态的状态量 初态的状态量 导致状态量 变化 1. 质点的动 能 标量 由于运动而具有的能量 状态量 3.3 动能定理 2. 质点的动能定理 合外力对质点做的功等于该质点动能的增量。 —质点的动能定理 ①功是动能变化的量度 外力作正功，质点动能增加 外力作负功，质点动能减少 ②A为过程量，与过程有关，而Ek为状态量 ③A与v应对应同一惯性系 说明 3. 用动量表示动能 m p E K 2 2 = 动能定理的微分形式 动能定理的积分形式 例题3.1 质量为m、线长为l的单摆，可绕 o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被 拉至水平，然后自由放下，求摆线与水 平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。 解 摆球受摆线拉力T和重力mg,合力作的功为 由动能定理 牛顿第二定律的法向分量式为: 证明：由牛顿第二定律： 又由于 故有： 即： 亦即： 补充例题在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为m的滑块以速度v0 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑