小波变换).ppt

傅立叶变换的局限性 傅立叶变换的局限性 在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。 在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份 在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。 换句话说，该变换是用一个窗函数 g(t-τ) 与信号f(t)相乘实现在 τ 附近开窗和平移，然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor变换的定义由下式给出：对于 f(t) ∈L2(R) D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数，相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化功能。 令窗口函数为 Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作了理论上的准备。 后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法－－多尺度分析。 从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普及应用起了重要的推动作用。 为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。 对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。 总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小，时窗大。 a:a1; b: a=1; c: a1。 (2)平均值为零，即： 上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。 小波变换： （10） 其中，积分核就是函数族： 如果 是复变函数时，上式采用复共轭函数 。 （1） Haar小波 (12) 离散小波的定义可由下式表示： 在Fourier变换中，基函数是 ，理论上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特性。 但是，与Fourier变换相比，小波变换的基函数 却不是唯一的，满足一定条件下的函数均能作为小波基函数，因而，寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论的一个重点研究课题。 随着参数a的减小， 的支撑区也随之变窄，而 的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。 小波 的选择既不是唯一的，也不是任意的。这里 是归一化的具有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件： (1)定义域应是紧支撑的(Compact Support)，换句话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就是函数应有速降特性。 该条件也叫小波的容许条件(Admissibility Condition) 其高阶矩也为零。 （6） （7） 式中 , 是有限值 它意味着 处 连续可积 （8） （9） 由上式可以看出，小波 在 t 轴上取值有正有负才能保证式上式积分为零。所以 应有振荡性。 设函数 具有有限能量，即: 则小波变换的定义如下： （11） 对于所有的 ， ，连续小波逆变换由式（11）给出。 (11) 其中 图 3加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较 图 4 Gabor）变换特性（a）和小波滤波特性(b) 图4显示了Gabor变换与小波变换的滤波特性。由图可见Gabor滤波是恒定带宽滤波，而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。 3. 几种典型的一维小波 小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的小波以供参考。 该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时可得到： (13) 其波形如图 5所示： 图 5 Haar 小波 （2） Mexico Hat小波 Mexico