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第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念 关于定义的说明: 2.积分的性质 2.积分存在的条件及计算法 §2 柯西定理 例1. 例2. 2. 原函数与不定积分 证： 定义1 3.复合闭路定理 证明： 例6. 证明： 注： 例2. 例3. 2. 解析函数的高阶导数 §4 解析函数与调和函数的关系 定义2 例1. 例2. ch3 复变函数积分 2. 柯西-古萨基本定理 3.复合闭路定理 4. 柯西积分公式 5.调和函数 二、典型例题 例2. 解法二 线积分法 解法三 全微分法 解法四 （C是任意实数） 所以有 那么 又因为 的实部 所以 也就是 （C2是任意实数） 解: 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 计算积分 其中 为正向圆周 和负向圆周 组成. §3 柯西公式 温故而知新 B 内处处解析, 任何一条封闭曲线 C 的积分 则 f (z) 在B内 如果函数 f (z) 在单连通域 为零: 柯西定理 思考 ？ §3 柯西公式 §3 柯西公式 定理1 如果 f (z) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线,它的内部完全含于 D, z0为 C 内的任一点, 则 1.柯西公式 当 时， 由于f (z) 在 连续， 所以 在C内部作圆周 那么 而 即 所以 1）柯西公式常写作 2） 若 则 平均值公式 例1. 解: 计算 其中 C 为 (1)正向圆周： (3)正向圆周： (2)正向圆周： (1) (2) (3) 求下列积分的值. 解： (2) 注意到函数 在 内解析，而 在 内，由柯西积分公式得 故得到 设 根据柯西积分公式，得到 解： 求 解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向 简单曲线, 而且它的内部全含于D. 定理2 它的n阶导数为: 注：高阶导数公式常写成如下形式 例4. 解: 计算 的正向闭曲线. 其中 C 为绕 例5. 解: 计算 在 内有奇点： 作圆周 于是 所以 定义1 在区域D内具有二阶连续偏 若二元函数 导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程 则称 为区域 D内的调和函数. 若 为解析函数， 定理1 则其实部 u 和虚部 v 都是调和函数. 设 f (z)=u+iv 在区域D内解析,则由C.-R.条件 证： 得 同理, 即u及v都是D内的调和函数. 因 与 D内连续， 它们 必定相等， 故在D内有 定理2 设 则 v(x,y)必为 u(x,y) 的共轭调和函数. u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R. 条件： 则称 v(x,y) 为 u(x,y) 的共轭调和函数. 是区域 D 的解析函数， 解: 已知 是右半复平面的调和函数， 求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v. 由C-R方程，得 解: 已知 验证u是调和函数， 并求以 u 为实部的解析函数 f (z), 使 f (0) = i. 因为 所以u是调和函数. 又 f (0) = i ， 所以 一、知识要点 1. 复积分基本计算法 曲线C: 函数 f (z)处处解析. 在单连通域 B 内， 与路径无关. 1) 其中C是 B 任意一条简单封闭曲线. 2) 解析, 并且 3) 4) 1). 调和函数 2).共轭调和函数 若 为解析函数， 3). 则其虚部 v 是实部 u 的共轭调和函数. 解: 分以下四种情况讨论： 例1. 解法一 不定积分法 利用柯西—黎曼方程, 因而得到解析函数 （C是任意实数） 因而得到解析函数 （C是任意实数） * 目录 上页 下页 返回 结束 * 1. 积分的定义 定义 和在局部弧段上任意取点, 极限 为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 设函数w =f (z)定义在区域D内, 都存在且唯一， 则称此极限为函数 记作 沿曲线弧C的积分. 若对C 的任意分割 C为在区域D内起点 (4) 一般不能把 写成 的形式. (1) 用 表示 沿着曲线C的负向的积分. (2) 沿着闭曲线C的积分记作 (3) 如果C是x轴上的区间 而 则 例1. 证明: 证明 其中 C 为正向圆周： 利用积分估值性质，有 定理: C 的参数方程为 则曲线积分存在, 且有 连续, 在有向光滑弧 C 上有定义且 设函数 例2. 解: 计算 的正向圆周， 为整数. 其中