常微分方程与运动稳定性篇.ppt

第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线作图法 第一节　前　言 第二节 极限环的存在性（ Poincaré-Bendixson环域定理） 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 极限环不存在定理 ―――考虑Lienard方程 定理1. (7.12)有唯一的稳定极限环，若满足： Lienard方程是指下形方程 (7.12) g(-x)=-g(x),当x≠0时：xg(x)0 (2)　对一切x ，f 及 g 连续,且g满足Lipschicz条件 (3)　设 当x→±∞时F→±∞; (4)　在x正半轴上F有唯一的零点 x=a (当0xa时，F(x)0; xa时F(x)单调增加)。 图6.1 V(x),y x o V(x) (6.9) 对应中心鞍点型奇点: 一半中心，一半鞍点（高次奇点---线性部分的特征根出现零根）。 将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开，得： 在一般情况下,对于V(n)≠0,当n为偶数时V为极值，当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线，如图(6.2)所示( y0, x’0; y0, x’0) V(x) o x V(x) 图 6.2 y p28 方程中不含速度项，为保守系统(机械能守恒)； 方程中含有速度项，而速度项前的系数为常数或定号函数，为非保守系统； 方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数，则不能确定是否保守系统。 z x o 图 6.3 M z=f(x) 例：质点M沿绕铅直轴z以角速度ω旋转的导轨 z=f(x)滑动，由Lagrange 方程推得质点运动方程 (6.10) --速度项系数是变号函数。但是(6.10)有能量积分 (6.11) m-质量，h-常数。(6.10)为一保守系统。 其运动微分方程一般为 (6.12) （6.13）的奇点： (6.14) ? (6.13) f(x, λ)=0, 在平面内为一曲线，如图(6.4) x o 图 6.4 假定阴影区: f(x, λ) 0 ；其他区：f(x, λ) 0 可看出，当参数λ增大时，奇点数目随之变化。 f(x, λ) 0 λ 如令 (6.15) 则得(6.13)的积分曲线方程为： (6.16) 由于Vxx” (x, λ) = fx’(x, ?),因而在奇点x处： Vxx” (x, ?) 0 (fx’(x, ?)0)时，V-极小 ? 中心； Vxx” (x, ?) 0 (fx’(x, ?) 0)时，V-极大 ?鞍点； Vxx” (x, ?) = 0，但Vxx”’ ≠0时? 中心鞍点。 与不含参数的保守系统相同 x o 图 6.4 f(x, ?) 0 λ a a -中心 ( λ=λ1) 沿 x增加方向看f(x, ?)的变化，判断fx’(x, ?)的符号 b b -中心; c - 中心鞍点 (? = ?2) c d e d - 中心鞍点; e -中心 (? = ? 3) h g f f, h - 中心; g -鞍点 (? = ? 4) i j i -中心; j -中心鞍点 (? =? 5) ?2??3:中心,鞍点,中心 ? ?5:中心 ?2 , ?3 , ?5 –分岔点 (奇点数目变化) f(x, λ) 0 O M Z mg r 图6.5 解: 由质点的动量距定理，可得小球的运动微分方程为 例1. 一质量为m的小球，可沿一半径为 r 的大环滑动，此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦，试研究小球的运动. (6.17) (6.18) 曲线如图(6.6): 阴影区--- f (φ,λ)0; 其余区域--- f(φ,λ)0。 O 1 -1 图6.6 p - 平衡位置: ? =0, φ=(0, ±? ), 当| ? | 1时; ?=0, φ=(0, ±? , ± cos-1? ),当|?|1时。 (6.19) 令 cosφ=? sinφ=0 相平面内轨线的分布情况（φ：-π ? π ）： ω 1 O -1 p - A 同宿轨道 异宿轨道 B 中心 鞍点 |λ|1 此时共有三个鞍点(φ=0,±π)与两个中心(φ=±cos-1λ); A,B分别为通过ω=0,φ=0与ω＝0，φ=±π 的分界线，其方程为 (6.20) 耗散系统属于非保守系统，其运动微分方程通常可表示为 (6.21) 满足 (6.22) 当 当 将 各项乘以 得 然后作对应上下限的积分，得 (6.23) 这表明，系统的能量是时间的单减函数。 (6.24) 对(6.23)求导 (6.21) (6.25) ------由(6.22)知 y=0时 g(x, y)=0，因而耗散