幂与根平面概念及复球面.ppt

四、总结与思考 1.幂与方根的计算. 重点是方根的运算. 2. 掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或方程代表的是否是区域、何种区域. 3. 重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对应. 是多连通域. 不是区域. 无界的单连通域(如图). 例7 求满足不等式 的点 z 所构成的点集， 作出它的图形. 并指出它是有界还是无界区域， 是 单连通还是多连通的？ 解 即 整理得 从而有 即 它是以(?5/2, 0)为圆心, 以3/2为半径的圆周的外部， 是无界多连通区域. O x y (?5/2, 0) 三、复球面 x2 + y2 + z2 =1 球面上点 N (0, 0 ,1) 称为北极. ， ， 复平面上点 z对应球面上点 P. 点 P 坐标为 （(1?t ) x, (1 ? t) y, t） 并且 点 P 坐标为 解得 反过来，球面上点P (x1, y1, z1)对应着平面上的点 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞.复平面上的无穷远点与球面上的北极 N相对应. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 复球面的定义 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 幂与根、平面概念及复球面 一、幂与根 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、复球面 四、小结与思考 复平面上的曲线和区域 一、幂与根 1. n次幂: 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 2.棣莫佛公式 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 从几何上看, 例1 解 例2 解 即 练习： 2．以方程 　的根的对应点为顶点的 多边形的面积为 答案： 例3 解 故原方程可写成 故原方程的根为 (a) 证明：二次方程 az2+bz+c = 0 (a ≠ 0)当 a, b, c 为复常数时的求根公式为 (b) 用(a)的结果求方程 z2 +2z + (1-i) = 0 的根. 例4 (a)证明： (b) 方程 z2 +2z + (1?i) = 0 的根是 练习：解下列方程： 答案： 二、复平面上的曲线与区域 区域 邻域 边界点 边界 1. 区域 邻域: 去心邻域: 内点: 开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集. 聚点： 若点 z0 的任意邻域内都含有G 的无穷多个点， 则称 z0 为G的聚点. 闭集： 若G 的聚点都属于G, 则称G为闭集. 有界点集和无界点集: 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 有界区域和无界区域: 边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点P 的任意小的邻域内总有D中的点, 也有不属于D的点，这样的点P 我们称为D的边界点. D的所有边界点组成 D 的边界. 说明 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. 2、单连通域与多连通域 连续曲线: 由复数方程: 那么 所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 例5 解 所以它的复数形式的参数方程为 平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，反之亦然. 例6 解