【专题4】推理与证明(含答案).doc

第3讲　推理与证明 考情解读　1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题． 1．合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②归纳推理的思维过程如下： →→ (2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②类比推理的思维过程如下： →→ 2．演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3．直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： →→→…→ (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： →→→…→ 4．间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛 盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示． →→→ 5．数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立． 热点一　归纳推理 例1　(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是(　　) A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85 　(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上． 1鼠 2猴 3兔 4猫 　开始 1兔 2猫 3鼠 4猴 第一次 1猫 2兔 3猴 4鼠 第二次 1猴 2鼠 3猫 4兔 第三次 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则有________________． 热点二　类比推理 例2　(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________. (2)已知双曲正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论________． 　(1)若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________. 热点三　直接证明和间接证明 例3　已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋10 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a (n≥1)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N*)