華南理工大学微积分统考试卷上2012Aa.doc

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《 微积分（上） 》试卷A （试卷号：2013.1.10 时间120分钟，总分100） 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 五 大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 评卷人 填空题（每小题4分，20分） 1．写出数列以常数为极限的定义： 对所有，存在，当时有 2．设，则 8 3．方程确定了隐函数，则 4．设，且，则 5. 计算下列各题（每小题5分，共15分） 6、设数列满足：，且。证明：存在，并求出此极限 解 因为，所以，设，则由数学归纳法得，从而数列有界； 又，从而数列是一个单调减少的有界数列。根据单调有界准则存在，设。则，即，得，即 7、求极限 解 原式（等价无穷小替换） 8、求极限 解 解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知，求 解 从而 10、设，求 解 ，由莱布尼茨公式 11、设由参数方程确定，求 解 ，从而 12、写出带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式 解 从而发现， ， 由公式得 在0与之间。 计算下列各题（每小题5分，共10分） 13、计算 解 14、 解 令， 则 ，由辅助三角形 原式 解答下列各题（每小题5分，共15分） 15、设在连续，且。证明 证 分段积分 对进行换元，令，则时，时， 从而，由已知，即，进而 因此 16、计算 解 令，则时，时； 则 17、判别广义积分的敛散性 解 为瑕点， 从而发散，因此原式发散 解答下列各题（每小题5分，共10分） 18、求由和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积 解 交点为，交点为，交点为，分清边界曲线的上下左右，作图（略） 19、求双扭线在圆内部的图形的面积。 解 由转化公式，得圆的极坐标方程为，从而双扭线与圆的交点处 ，交点关于极轴对称， 分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略） 从而看出 证明题（每小题5分，共10分） 20、设在上可微，且。试证：存在，使 证 由积分中值定理， 从而 也形成了一个区间。 令，由已知，在区间上连续，在内可导，又， 由罗尔定理，得存在存在，使，即 21、设函数在闭区间上连续，证明：在闭区间上存在原函数 证 由于函数在闭区间上连续，可设 由于 从而位于与之间，再由连续性，从而，由原函数的定义知是在闭区间上的一个原函数，因此在闭区间上存在原函数  《 微积分（上） 》试卷A第 1 页 共 6 页 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ …