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与二次函数有关的最优化问题 山东 李浩明 与二次函数有关的最优化问题在人们的生产、生活中有着广泛的应用，为帮助同学们进一步掌握这类问题的求解策略，下面给出两例与之有关的试题，供大家参考． 例1．（2009年滨州市）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 分析：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值. 解： （1） y=(60－x－40)(300+20x)?? ?????????? ??? ?＝6000+400x－300x－20x2 ?＝－20x2+100x+6000 自变量的取值范围是0≤x≤20. （2）∵a＝－200，∴函数有最大值， ∵， . ∴当x=2.5时，y的最大值是6125. ∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元. 例2.(2008西宁市)现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花． （1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围． （2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 分析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 解：（1）由题意知，场地宽为， ∴， 自变量的取值范围为． （2）， 当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2． 点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值． 二次函数中的最优问题 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，在生活中有着广泛地应用，下面举例说明它在最优化问题中的应用，供参考。 一、确定材料费用最省方案 例1、（2008湖北荆门）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH． (1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由； (2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 分析：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y，分别求出△CFE、△ABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。 解：(1) 四边形EFGH是正方形． 图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四边形EFGH是正方形. (2)设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y,那么 y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)] ×10=10(x-0.2x+0.24) =10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4) ． 当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。 答:当CE=CF=0.1米时总费用最省. 说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如面积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。 二、求销售的最大利润 例2、（2008年四川乐山）一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）该公司