拉氏变换重点.ppt

* 补充 微分方程→代数方程 一、拉氏变换及其特性 （一）拉氏变换的定义 时间函数f(t)，当t0时， f(t)=0， t≥0时， f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为 式中 s=? + j? L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。 虚数单位 sin?t 6 5 4 t 单位斜坡函数r(t) 3 1(t) 单位阶跃函数u(t) 2 1 ?(t)单位脉冲函数 1 F(s) f(t) 序号 常用函数的拉氏变换对照表 12 11 10 9 8 cos(?t) 7 F(s) f(t) 序号 16 15 14 13 F(s) f(t) 序号 18 17 F(s) f(t) 序号 根据表格直接写出结果 （二）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理 2．微分定理 式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件。 式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f (n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的 f(t) 值，如果所有这些初值为零，则 例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零。 解：利用线性定理和微分定理，可得 3.积分定理 式中 为 　在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。 式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有 4．初值定理 5．终值定理 例：已知 　 ，求f(t)的终值。 二、拉氏反变换及其计算方法 （一）拉氏反变换的定义 式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。 已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就称为拉氏反变换，计作 (二).拉氏反变换的计算方法 1.查表法 2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理) 控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 为实数,称留数 留数的方法可分为下面三种情况研究。 (1).不同实数极点情况 的求法 例1 求 的拉氏反变换。 解：　 查表： 例2 求 的拉氏反变换。 (2). 包含有共轭极点的情况 由此得： 例2-13求 的拉氏反变换． 解： (3). 包含有多重极点的情况 因而上式拉氏反变换为 将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得 小结 拉氏变换的主要性质。 典型函数的拉氏变换结果。 拉式逆变换的三种情况： 不同实数极点； 有共轭复数极点； 有重极点。 再举一些例子： 例1 解 例2 解 *