数字信号处理Lecture5.ppt

数字信号处理第十五讲 中国地质大学(北京) 地球物理与信息技术学院 电子信息工程教研室 制作 Chapter 6 Discrete Fourier Transforms 6.1 傅氏变换的四种形式 6.2 周期序列的傅氏变换：离散傅氏级数展开 6.3 离散傅氏级数的性质 6.4 有限长序列的傅氏变换：离散傅氏变换 6.5 离散傅氏变换的性质 6.6 对DTFT的采样 6.7 用DFT对连续时间信号逼近的讨论 §6.4 离散傅立叶变换6.4 The Discrete Fourier Transform 把x(n)看成周期为N的周期序列x?(n)的一个周期内的样本，那么x?(n)就是x(n)以N为周期的周期延拓，即 x?(n)=x((n))N ? x(n)＝x?(n)RN(n) (6-31) X?(k)＝X((k))N (6-32) X(k)＝X?(k)RN(k) (6-33) [例 6-3] 设x?(n)是周期为N＝11的序列，求n＝26， n＝-5两数对N的余数。 §6.5 离散傅氏变换的性质6.5 The Properties of DFT 下面讨论的序列都是长度为N的序列，并假设 1.线性性 如果两个有限长序列为x1(n)和x2(n)，那么 2.对偶性 与DFS的对偶性相类似，DFT的对偶性为：若 3.对称性 若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性 4.共轭对称性 周期序列x?(n)的共轭对称分量x?e(n)及共轭反对称分量x?o(n)分别为 x?e(n) = 1/2[x?(n)+x?*(-n)] =1/2 [x((n))N+x*((N-n))N] x?o(n) = 1/2 [x?(n)-x?*(-n)] = 1/2 [x((n))N-x*((N-n))N] 圆周共轭对称 xep(n) = 1/2 [x((n))N+x*((N-n))N] RN(n) 圆周反共轭对称 xop(n) = 1/2 [x((n))N-x*((N-n))N] RN(n) 设DFT[x(n)]＝DFT{Re[x(n)]+jIm[x(n)]}，则有 DFT{Re[x(n)]}=Xep(k) =1/2 [X((k))N +X*((N-k))N]RN(k) DFT{ jIm[x(n)]}＝Xop(k)＝1/2 [X((k))N ?X*((N-k))N]RN(k) [例 6-4] 设x1(n)、x2(n)都是实数序列， 求DFT[x1(n)]＝X1(k)， DFT[x2(n)]＝X2(k) 解：用此二序列构成一个复序列，即 w(n)=x1(n)+j x2(n) (6-48) 则 DFT[w(n)]＝W(k) =DFT[x1(n)+j x2(n)] ＝DFT[x1(n)]+jDFT[x2(n)] ＝X1(k)+jX2(k) 又 x1(n)＝Re[w(n)] 故 X1(k)＝DFT{Re[w(n)]} ＝Wep(k) ＝ 1/2 [W(k)+W*((N-k))N]RN(k) 同样由于 x2(n)＝Im[w(n)]故 X2(k)＝1/jWop(k) ＝1/2 j[W(k)-W*((N-k))N]RN(k) 所以用一次DFT求出W(k)后，则按以上公式即可求得X1(k)与X2(k)。 5.循环移位 一个长度为N的序列x(n)，其循环移位定义为 x((n?m))NRN(n)＝x?(n?m)RN(n) (6-46) 其中m表示x(n)移了m位，x?(n)是x(n)的周期延拓(周期为N)。 有限长序列循环移位后的DFT为 6.DFT 的帕塞瓦定理 一个序列在时域的能量与在频域的能量