数字信号处理丁玉美版教案-.ppt

第二章 时域离散信号和系统的频域分析 信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法，本章学习序列的傅立叶变换，它和模拟域中的傅立叶变换是不一样的。 2.1 序列的傅立叶变换的定义 FT: IFT: 下一页 X(n)和X(ejw)是一对傅立叶变换对， FT存在的充分必要条件是： 如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅立叶变换亦可用冲激函数的形式表示出来。 2.2 序列的傅立叶变换的性质 1、FT的周期性 2、 FT的线性 3、 FT的时移和频移特性 4、 FT的对称性 5、FT的时域卷积定理 6、FT的频域卷积定理 1.FT的周期性 由序列的傅立叶变换公式： N取整数，可以把频率分成两部分 其中的M为整数。 因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。 2.FT的线性 设 那么 式中a和b为常数。 3.FT 的时移和频移特性 设 那么 4.FT 的对称性 在学习FT的对称性之前首先介绍共轭对称和公轭反对称以及它们的性质。 满足 为共轭对称序列，且共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。 满足 为共轭反对称序列，且共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示： 将上式中的n用-n代替，再取共轭，可得到下式： 利用上面的两个公式即可求得xe(n) 和xo(n)，即 对于频域，同样有 FT 的对称性 1、将序列分成实部xr(n)和虚部xi(n) 将实部进行FT 其具有共轭对称性。 将虚部进行FT 其具有共轭反对称性。 结论：序列分为实部和虚部两部分，实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 2、将序列分成共轭对称xe(n) 与共轭反对称xo(n)两部分 且有： 对上面两式取FT，得到 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应FT的实部，序列的共轭反对称部分xo(n )对应FT的虚部。 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 将xe(n)用实部和虚部表示： 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到： 对比上面两式，因为左边相等，故可以得到： 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数 5.时域卷积定理 设 证明： 该定理说明： 在求系统的输出信号时， 可以在时域用卷积来计算， 也可以在频域先求输出的FT，再作逆变换。 6.频域卷积定理 设 则 证明： 交换积分和求和次序得到： 该定理表明：在时域两序列相乘，转换到 频域服从卷积关系。 2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换表示式 问题的提出： 因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此FT不存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入 函数 ，周期序列的FT可用公式表示。 1、周期序列的离散傅立叶级数 (DFS) 设 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为： 式中傅立叶级数的系数 （为什么？） 令 则 上面两式是一对DFS. 例题：见pp-36 对 两边同乘 ，并对n在一个周期中求和 2、周期序列的傅立叶变换表示式 模拟系统中 时域离散系统 上式表示复指数序列的FT是在 处的单位冲激函数，强度为 ，这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯一等于 按照反变换的定义 在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为 周期序列的傅立叶变换式 对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数 类似复指数序列的FT，第k次谐波 的FT为： 因此 的FT为： 如果k在 之间变化，上式可简化成 例 2.3.2 见pp-39 注意：对于一个周期信号，其傅立叶级数和傅立叶变换的形状是一 样的，不同的是在画法上有所不同。 例 2.3.3 见pp-39 2.4 时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换之间的关系 模拟信号的傅立叶变换用 表示 采样信号的傅立叶变换用 表示