数字信号处理离散傅里叶变换及其快速算法.ppt

* 3.4 DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT) DFT使计算机在频域处理信号成为可能，但是当N很大时，直接计算N点DFT的计算量非常大。 快速傅里叶变换（FFT，Fast Fourier Transform）可使实现DFT的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处理的速度大大提高，工程应用成为可能。 人们已经研究出多种FFT算法，它们的复杂度和运算效率各不相同。 本章主要介绍最基本的基2 FFT算法及其编程方法。 * 3.4.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 DFT计算量： 长度为N的序列x(n)的N点DFT为 计算X(k)的每一个值需要计算N次复数乘法和N-1次复数 加法，那么计算X(k)的N个值需要N2次复数乘法和(N-1)?N 次复数加法运算。当N1时，N点DFT的复数乘法和复数加 法运算次数均与N2成正比。 * DFT减少运算量的基本途径： 长序列分为短序列： 由于N点DFT的运算量随N2增长，因此，当N较大时， 减少运算量的途径之一就是将N点DFT分解为几个较 短的DFT进行计算，则可大大减少其运算量。 的周期性和对称性： 的周期性： 的对称性： * 快速傅里叶变换就是不断地将长序列的DFT分解为短序列 的DFT，并利用 的周期性和对称性及其一些特殊值来 减少DFT运算量的快速算法。 * 时间域抽取： 频率域抽取： 基2时间抽取(Decimation in time)DIT-FFT算法 基2频率抽取(Decimation in frequency)DIF-FFT算法 长序列分解为短序列的方法 * 3.4.2 基2 DIT-FFT 算法 基2FFT要求DFT变换区间长度N=2M，M为自然数。 DIT-FFT算法 序列x(n)的N点DFT为 将上面的和式按n的奇偶性分解为 * 上式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的序列 x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。 (3.4.4) (3.4.5) (3.4.6) * 将式(3.4.5)和式(3.4.6)代入式(3.4.4)，并利用 X1(k)、X2(k)的隐含周期性可得到 这样，就将N点DFT的计算分解为计算两个N/2点离散傅里 叶变换X1(k)和X2(k)，再计算式(3.4.7)。 (3.4.7) (3.4.4) (3.4.5) (3.4.6) * 蝶形图 蝶形图及运算功能 8点DFT一次时域抽取分解运算流图 * 运算量讨论 两个N/2点DFT、N/2个蝶形 N/2点DFT (N/2)2次复数乘法 (N/2-1)(N/2)次复数加法 蝶形 1次复数乘法和两次复数加法 可见,经过一次抽取分解,当N1时，N点DFT运算量近似下降一半。 * 8点DIT-FFT运算流图 * 2. DIT-FFT的运算效率 DIT-FFT与DFT所需乘法次数比较曲线 * 由8点DIT-FFT运算流图可见，N=2M时，其DIT-FFT运算流图 由M级蝶形构成，每级有N/2个蝶形。因此，每级需要N/2 次复数乘法运算和N次复数加法运算，M级蝶形所需复数乘 法次数CM(2)和复数加法次数CA(2)分别为 直接计算N点DFT的复数乘法次数为N2，复数加法次数为(N- 1)N。当N1时，N2/CM(2) 1，所以N越大，DIT-FFT运算 效率越高。DIT-FFT算法与DFT所需乘法次数与N的关系曲 线见前页图示。 * 例如 N=210=1024时，DIT-FFT的运算效率为 而当N =211=2048时有 DFT的乘法次数 DIT-FFT的乘法次数 * 3. DIT-FFT的运算规律及编程思想 （1）原位计算 （2）旋转因子的变化规律 （3）蝶形运算规律 （4）序列的倒序 （5）编程思想 * （1）原位计算 N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个 蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数 据节点又同在一条水平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数 据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这样，经过M级运算后，原 来存放输入序列数据的N个存储单元(A(0),A(1),…,A(N-1))中便依次存放 X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方 法称为原位（址）计算。 节约内存单元，降低设备成本 * （2）旋转因子的变化规律 N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶 形都要乘以