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第7章 差错控制 【例7-6】设一线性分组码，码字为A=(a8，a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1，a0)码元之间有下列关系 试求： (1) 信息码元长度k，码字长度n；(2) 校验（监督）矩阵H；(3) 最小码距。 解：(1) a3a2a1a0取值由前5位码元决定，根据线性分组码构成，该码字的前5位为信息码元，后4位为监督码元，即为(9,5)码。 (2) 将给出的监督方程重新写为 得监督矩阵 (3) 7.6 循环码 7.6.1 循环码的循环特性 循环码是一种线性分组码，且为系统码，即前k位为信息位，后r位为监督位，它除了具有线性分组码的一般性质外，还具有循环性，即循环码中任一许用码组经过循环移位后（将最右端的码元移至左端，或反之）所得到的码组仍为它的许用码组。下表给出一种（7，3）循环码的全部码组，由此表可以直观看出这种码的循环性。例如，表7-8中的第2码组向右移一位即得到第5码组；第5码组向右移一位即得到第7码组。 0010 111 8 1001 011 4 0101 110 7 1110 010 3 1100 101 6 0111 001 2 1011 100 5 0000 000 1 a3a2a1a0 a6a5a4 a3a2a1a0 a6a5a4 监督位 信息位 码组编号 监督位 信息位 码组编号 表7-8（7，3）循环码码组 一般来说，若（an-1,an-2,…,a0）是一个（n，k）循环码的码组，则 （an-2,,an-3…,a0， an-1） （an-3,,an-4,…,a0， an-1, an-2） ……… （a0，an-1, an-2,…,a2,,a1） 也都是该编码中的码组。 7.6.2 循环码的多项式表示 1．码多项式 为了便于用代数理论研究循环码，可将码组用多项式表示，该多项式称为码多项式。一般地，长为n的码组Cn-1Cn-2…C1C0，对应码多项式A(x) （7-29） 式中，xi系数对应码字中Ci的取值，它的存在只表示该对应码位上是“1”码，否则为“0”码。对于（7，3）循环码中的任一码组都可以表示为： A(x)＝C6x6+C5x5+C4x4+C3x3+C2x2+C1x+C0 例如：（7,3）码字：1001110 对应的多项式表示为 A(x)＝ x6＋x3＋x2＋x 2．模N运算 之前我们学习过模2运算，但是主要是针对二进制运算。如果不考虑二进制，那又怎么算呢？比如说我们要将15进行模2运算，结果该为多少？我们可以将15除以2，余数就是模2运算的结果。同理：将M对求模N运算，也可以采用这种方法。一般地，若 则记为： （7-30） 所有余数为p的整数属于关于N的一个同余类。 类似地，可以定义关于多项式N(x)的同余类，若 （7-31） 式中Q(x)为整式，余式R(x)的幂 N(x)的幂。则M(X)求模N(x)运算的结果就为R(x)。上式可写成： 例：在系数为二元域的多项式中，因为是模N运算。有 从而有上述结论。 定理1 若A(x)是长度为n的循环码中的一个码多项式，则xiA(x)按模xn＋1运算的余式必为循环码中的另一码多项式。（证明略） 7.6.3 循环码的生成多项式g(x)及生成矩阵 一般地，线性分组可表示为