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数学史选讲 鲁东大学数学与信息学院 范永顺 2008年7月17日 2 祖冲之关于圆周率的贡献 祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了一部历法《大明历》，这在当时是最先进的历法. 二 球体积 1 刘徽的成就 刘徽首先证明了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。 刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟合方盖的体积， 球体积公式也就唾手可得。在一 立方体内作两个互相垂直的内切 圆柱。这两个圆柱体相交的部分， 就是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合 方盖恰好把立方体的内切球包含 在内并且同它相切。如果用同一 个水平面去截它们，就得到一个圆 （球的截面），和它的外切正方形 （牟合方盖的截面）。 例：平衡法求球体积 当然，平衡法本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到他的方法在严密性上的不足，所以当他用平衡法求出一个面积或体积之后，必再用穷竭法给以严格的证明。这种发现与求证的双重方法，是阿基米德独特的思维模式，也可以说是他胜欧几里得一筹之处。 设球的半径为R，如图作球、圆柱、圆锥的轴截面。 延长SN到T使TN=2R。 在与N距离为x处割出厚度为△x的三个薄片（可看成近似的圆柱体）， 它们的体积分别是： 球薄片: 圆柱薄片： ， 圆锥薄片： 将球薄片与圆锥薄片的重心吊在点T处，圆柱薄片的重心仍在原处，以N为支点考虑两边的力矩： 左力矩=[ + ]2R= 右力矩= 将所有这些薄片绕N点的力矩加在一起便得： （球体积+圆锥体积）2R= 4（圆柱体积）R ，球体积=2圆柱体积-圆锥体积 4、开普勒求体积 开普勒把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到 用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华． 5 卡瓦列里的工作 伽利略的学生卡瓦列里(1598—1647)不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革． 第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面． 第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例． 所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的． 如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系： OE2=GO2＋EG2 即 RG2＝FG2+EG2． 所以 πRG2＝πFG2＋πEG2． 　　由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则 计算球的体积都利用了球与已知几何体的关系 一、圆周率的计算 1、刘徽的成就 《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。 《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论 。 刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积和周长。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。” 刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值 ，化成分数为 ，