数学：《复数的概念》课件北师大版选修.ppt

4.1 复数的概念 阜阳杨奎 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q. 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (-i)2=i 2=-1, 所以方程? x2=-1? 的解是 x=±I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1,? i 4n+1 =i,? i 4n+2 =-1,? i 4n+3 =-i????? ( n∈N ) 以上性质叫 i? 的周期性. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d　 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　 复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi　(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 　　　　　　　　　复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 　　z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法 共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 ｚ表示．若 z=a+bi(a、b∈R) ，则　z=a－bi （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与ｚ 关于实轴对称． 例1请说出　　　　　　　　　　　复数的实部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数　　　z=m+1+(m－1)i是: 　(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 　 课堂练习： 1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( ) A.