数学物理方法版梁昆淼期末总结ppt.ppt

第一章 复变函数 二、六种初等复变函数： 3、构建解析函数： 3、重要公式应用（P28） 第二章 复变函数积分 4、柯西公式 第三章 幂级数展开 二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数 三、有限远孤立奇点分类及其类型判定 第五章 傅里叶变换 三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化： 1、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质 2)、勒让德多项式的模 3)、勒让德多项式的全体构成完备组 运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同 齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形 式的傅里叶级数， 二、傅里叶级数法 (1)、若是第一类非齐次边界条件 可设 可将w(x,t)的边界条件齐次化。 引入辅助函数v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t) 满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次 边界条件的定解问题变换为函数w(x,t)满足的齐次边 界条件的定解问题。 可设 可将w(x,t)的边界条件是齐次的， (3)、若是第一、二类非齐次边界条件 或 可设 可将w(x,t)的边界条件齐次化。 (2)、若是第二类非齐次边界条件 例3、求定解问题 解： 设 令 代入上式 由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设 代入泛定方程，得 代入初始条件， 所求的定解问题的解为： 例4、求定解问题 解： 设 令 代入上式 由于边界条件是第一类齐次边 界条件，所以设 代入泛定方程，得 代入初始条件， 定解问题的解为 (1) l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题 (自然边界条件) ——本征值问题 本征值是l (l+1) 本征函数则是l阶勒让德多项式Pl(x)。 第十章 球函数 (2)勒让德多项式的性质 1)、正交性 不同阶的勒让德多项式在区间(-1, 1)上正交， 二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式 奇点类型 可去奇点 0 m阶极点 一阶极点 普遍公式 本性奇点 极点阶数判定 法一 把极点阶数估计得过高 n就是极点的阶数 把极点阶数估计得过低 (nm) (n=m) (nm) 法二 零点和极点的关系 若z = z0是 f(z)的m阶零点，则z = z0必是 的 m阶极点。 三、留数定理的应用 1、计算闭合回路积分； 例1 解： ，其奇点为：z1=4, z2=2, z3=1 只有单极点z2=2, z3=1 在积分回路内。 类型一： 类型二： 2、计算三种类型实变函数定积分； 类型三： 解： 且其留数为 只有单极点 在圆 内， 解： 所以 明显，只有 在上半平面，且为 f (z) 的一阶极点，因此 解： 有两个二阶极点 ， 其中 在上半平面， ——P61 例7 一、傅里叶级数 1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开 一般周期函数： (5.1.3)、(5.1.5)；——P88 奇函数： (5.1.8)、(5.1.9)； ——P90 偶函数： (5.1.10)、(5.1.11)；——P90 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数 傅里叶级数 2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开 对函数f(x)的边界（区间的端点x=0, x=l）上的行为提出 限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。 (1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0 ——应延拓成以2l为周期的奇函数 (奇延拓) (2)、边界条件为 ——应延拓成以2l为周期的偶函数 (偶延拓) (3)、边界条件为 根据边界条件f(0)=0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0 作奇延拓。 又根据边界条件 ，应将函数 f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作偶延拓， 然后以4l为周期向整 个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的奇函数。 (4)、边界条件为 又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓， 然后以4l为周期向整 个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的偶函数。 根据边界条件 应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换: 其中 复数形式的傅里叶积分: 二、傅里叶积分 f(x) 非周期函数 x?(-?,?) 可以写成对称的形式: 三、?函数 1、 ?函数定义 2、 ?函数性质 挑选性： 3、 ?函