数学选修数系的扩充和复数的引入.ppt

【例8】已知复数z1≠1,且 是纯虚数，复数 求复数z在复平面内对应的点的轨迹. 【解析】设 =bi(b∈R,b≠0),则z1= -1， ∴z= =(1-bi)2=1-b2-2bi. 设z=x+yi(x,y∈R),得 消去b得，y2=-4(x-1)(x≠1), 即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点). 第三章 阶段复习课 一、数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i2=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集. 2.复数的分类 (1) (2)集合表示: 3.复数相等的充要条件 a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 4.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. 5.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R); (2)复数z=a+bi 平面向量 (a,b∈R). 6.复数的模 向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|， 即|z|=|a+bi|=r= (r≥0,r∈R，a,b∈R). 【辨析】 复数、复平面内的点、复平面内的向量 任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的. 二、复数代数形式的四则运算 1.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 除法 z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 乘法 z1- z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 减法 z1+ z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 加法 (2)对复数运算法则的认识. ①复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部. ②复数加法法则的合理性: (ⅰ)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致. (ⅱ)加法交换律和结合律在复数集中仍成立. (ⅲ)符合向量加法的平行四边形法则. (3)复数满足的运算律: 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2=z2·z1, (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3), z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (4)复数加减法的几何意义. 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则). 复数的减法运算也可以按向量的减法来进行. 2．几个重要的结论 (1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2). (2)z· =|z|2=| |2. (3)若z为虚数，则|z|2≠z2. (4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*. 3.共轭复数的性质 复数z=a+bi的共轭复数 =a-bi. (1)z· ∈R. (2) =z. (3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z= 则z是实数. (4)共轭复数对应的点关于实轴对称. 4.巧用向量解复数问题 复数的加减运算可转化为向量的加减运算. 请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧. 一、复数的概念与分类 形如a+bi(a,b∈R)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示. 设z=a+bi(a,b∈R)，则(1)z是虚数?b≠0； (2)z是纯虚数? ； (3)z是实数?b=0. 【例1】(2012·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，m∈R. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值； (3)若(1+i)z=1+3i，求|z|. 【解析】(1)由题意得 ?m=-1， 当m=-1时， z是纯虚数. (2)由题意得m2+m=-m，解得m=0或m=-2. (3)∵