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第二章连续时间系统的时域分析 微分方程的建立与求解 零输入响应和零状态响应 冲击响应与阶跃响应 卷积及其性质 §2.1微分方程的建立与求解 1. 微分方程的建立 设系统的激励信号为 ，响应为 ，则系统的特性可用一微分方程来描述 对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系数线性微分方程式 二. 微分方程的求解(经典法) 3. 微分方程的算子表示 引入算子 ，并令 于是有 微分方程的算子表示(续) 令 高阶微分方程的算子表示 传输算子 算子的运算 如果 则有 ， 为常数( 不可约) 算子可相约 算子不可相约 四、零输入响应和零状态响应1.零输入响应 对于线性时不变系统， 零输入响应 是满足 及起始状态 的解 2. 零状态响应 零状态响应 是满足方程 及起始状态 的解 3. 响应的表达式 零输入响应 零状态响应 完全响应 4、相乘：将f1(?)和 f2(t-?)相乘 1 2 ? f1(?) c ? f1(?)f2(t-?) 0 t t-1 5、积分 c ? f2(t-?) 0 t t-1 c ? f1(?)f2(t-?) 0 t t-1 阴影的面积，即g(t)的值，是t时刻的卷积结果。 1 2 ? f1(?) f1(?) f2(-?) ? 0 1 2 ? f1(?) c -1 ? f2(-?) 0 c 1 ? f2(1-?) 0 f1(?) f2(1-?) ? 0 1 1 2 ? f1(?) c 1 ? f2(2-?) 0 f1(?) f2(2-?) ? 0 2 1 2 ? f1(?) c 3 ? f2(3-?) 0 f1(?) f2(3-?) ? 0 g(t) t 2 1 c （二）、卷积的解析计算 1、积分限的确定： A、设f1(t)是有始函数，当t0时，f1(t)=0， f2(t)不受此限 积分下限为0 B、t0时，f2(t)=0， f1(t)不受此限 即，当?t时， f2(t-?)=0， C、将A、B两个条件合并： t0时，f1(t)=0， f2(t)=0 积分上限为 t 积分上限为 t，下限为0 卷积的被积函数是有始函数，卷积也是有始函数 2、起始时刻的确定： 若f1(t)从t1时刻起始，f2(t) 从t2时刻起始，即： 整理得： （2）求完全响应的形式 齐次解： 特征方程： 特征根： 齐次解形式： 特解： 时， ， 自由项为16，所以设 代入原方程，解得 完全解的形式： （3）确定换路后的 方法一： 换路前 换路后 方法二： 由题意知， 的波形如图：即 。 当 时微分方程为 0 所以可设： 代入上方程求得： 解得 所以 （4）求完全响应 由完全响应的表达式得： 解得： 所以完全响应为： 经典法求解微分方程的流程 将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统 列写微分方程 齐次解 （系 数A待定） 特解查表 完全解=齐次解 +特解（ A待定） 已定系数A的完全解—系统的响应 给定系统 状态 求出对应 状态 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 由0时刻的起始条件求 时刻的初始条件一般是很困难的，所以求系统响应时，一般绕开初始状态跳变的问题，而用别的方法来求系统的响应。详见后面章节内容，如零状态响应的求解内容 2.2 冲激响应与阶跃响应 二者都是零状态响应。 1、单位冲激响应：以单位冲激信号?(t)作激励 时，系统产生的零状态响应，以h(t)表示。 2、单位阶跃响应：以单位阶跃信号u(t)作激 励，系统产生的零状态响应，以g(t)表示。 h(t)与g(t)的关系： 用冲激响应分析线性系统的方法更常用