試谈猜证结合思想在中学数学中的地位和作用.doc

试谈猜证结合思想在中学数学中的地位和作用 韶关市乳源高级中学 莫绍贵 内容摘要:教育部考试中心在1993年提出了“数形结合”、“函数与方程”、“分类讨论”、“化归与转化”这四种数学思想，这些思想是目前中学数学课程中起主导作用的思想,是问题解决的最基本最有用的思想,对学生今后的学习与发展作用很大,但从数学的发展来看,“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的重要途径。本文企谈“猜证结合”思想在中学数学中的地位与作用。 关键词: 数学思想 推理方法 猜想 证明 猜证结合 “问题”是数学的心脏，“问题解决”是数学教育和数学学习的核心，而“数学思想”是“问题解决”的中心。 一、数学思想和数学方法 通常认为，“数学方法”就是为解决问题而采用的手段、步骤或程序，属于过程性的知识；而“数学思想”则是数学的基本观点，是对数学的概念、原理、方法、发现法则本质的认识。对于解题，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识、方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。由于数学思想常常表现为数学方法的形式，所以通常把二者统称为“数学思想方法”。 但二者的关系是：数学思想是数学方法的概括和提炼，思想比方法有更高的层次；数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与操作化的特点。 两种推理方法 解题是人类特别富有的智力活动，它必须遵循人类认识运动的规律。而人的基本认识过程有两个：一是由特殊到一般；一是由一般到特殊。按照这两个基本认识过程，人们将推理分为以下两种： 证明推理——由一般到特殊 即由一般原理推出个别的、特殊的结论。这种推理叫做演绎推理。演绎的前提是真实的，且推理的形式又合乎逻辑，所以推出的结论一定是真实的，是必然性推理。 2．似真推理——由特殊到一般 由个别的、特殊的结论，通过观察、实验、分析、比较等手段，概括出一般结论。这种推理叫做归纳推理。它是合情的或然推理，其结论不一定真实，必须加以反驳和证明。结论的似真性是归纳推理的主要特性，因此把归纳推理叫做似真推理，也叫做数学猜想。这是创造性的逻辑推理。 “由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理，叫做类比推理，其认识过程仍包含于“由特殊到一般”这个基本认识过程之中，并且推出的结论也是似真的，所以类比推理也是似真推理。 猜证结合思想 数学是系统的演绎科学，其核心是严谨的证明推理；数学又是实验性的归纳科学，其核心是合情的似真推理（即数学猜想）。 由于“证明”只能证明真理，却不能发现真理；发现真理靠的是猜想，所以两种推理必须相互联结、有机结合，靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现，这就引出解题的两大策略——猜想和证明。“猜想”优于发现，但其结果是似真的，必须补以证明；“证明”能够证明真理，却难以发现真理。因此，在问题解决中，不但要善于应用“猜”“证”两种策略，还要更善于“猜证结合”，使猜想和证明互补优势，交互为用，使问题解决得快而好。数学推理总是“猜想——证明——再猜——再证”循环往复地进行的，直到问题解决或发现新问题。这就是数学推理的逻辑，由此凝聚了一个现代的解题思想——猜证结合思想。 猜证结合思想的逻辑基础是辨证逻辑，是或然逻辑和必然逻辑的统一。猜证结合是综合能力较高的带有一定直觉性的高级认识过程，是人类智慧的一个高峰。 高考《考试说明》的变化及高考题走向 03年以前的《考试说明》明确要考查的四种能力是：“思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力”；04年的《考试说明》取消了“分析和解决问题的能力”，而增加了“实践能力”和“创新意识”；05年的《考试说明》对各种能力都作了进一步的界定，其中对“创新意识”作了进一步的阐述：“创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的‘观察、猜测、抽象、概括、证明’是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强”。可见,已经把考查“创新意识”提高到了一个战略的高度. 我们知道：数学猜想的基本方法有四种：（1）特殊化方法；（2）一般化方法；（3）类比法；（4）归纳法。综观近几年的高考题，我们发现有以下特点： (一)用猜想的特殊化方法与一般化方法能快速解题 近几年的一些高考题并未要求用猜想方法求解，但用猜想的特殊化方法与一般化方法能快速解决，并且都是只猜不证． 例1：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ） 直线对称；直线对称；直线对称；直线对称。 解析：这是1997年高考题,表面上看比较抽象,用图象变换法易出错.如果用特殊化猜想的方法,问题可轻易解决:把已知函数特殊化,令,则,显然这两个函数是同一函数,它的图象关于直线对称,可见应该选 例2:向高为的水瓶中注水,注满为止。如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是（ ） 解析