曲线积分与路径无关的条件北工大.ppt

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曲线积分与路径无关的条件北工大

* * 四、格林公式 定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线  围成, 函数    与    在上具有一阶连续偏     导数,则有 格林公式 其中  是D 的取正向的边界曲线.  例 计算 其中曲线 是由1)直线    2)抛物线 3)立方抛物线    都是由原点 到点 被积函数相同,起点和终点也相同,但 路径不同而积分结果不同. 例 被积函数相同,起点和终点也相同,虽然路径不同但是积分结果相同. 解 x y o L y x o 应用格林公式,得 (2) 当     时,作位于D内圆周 记 由 和 所围成. 五、曲线积分与路径无关的条件 定理 若函数 , 以及 在单连通区域G连续,下列四个断语是等价的: 与路线C无关, 1.曲线积分 即只与始点A与终点B有关; 2.在G中存在一个函数 ,使 4.对G内的任意光滑闭曲线 。 3. 例 计算    其中 是 的上半圆周,顺时针方向为正. 例 验证下列积分与路径无关,并求他们的值. 沿在右半平面的路线; 沿不通过原点的路线; 例 计算 ? 其中AO是从点 ⌒ 的上半圆周 到点 定理5 若在单连通区域G内函数 是 的原函数,而 与     是G内任意两点,则   证明: 在G内任取连接点A到点B的光滑曲线 且 曲线积分 又已知   是     的原函数,有 则

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