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曲线积分习题课及选择题
第十章习题课 一、主要内容 * * 曲线积分习题课 主要内容 典型例题 1. 两类曲线积分的概念, 两类曲线积分 的性质及两类曲线积分的关系. 2. 两类曲线积分的计算方法. 3. 格林公式, 平面曲线积分与路径无关 的条件. 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) 格林公式 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 思路 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 第二类曲线积分 的计算法 ò + L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( òò ? ? - ? ? = D y x y P x Q I d d ) ( 二、典型例题 例. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 例 计算 其中L为 解 圆周: ，方向沿逆时针. 解 解： 条件极值问题 例 分析 令 如果存在二元函数 使得 则必有 由此确定 用线积分或不定积分求 解 令两者相等得 即 以下用两种方法求 (1,0) (x,0) 法一 在右半平面内任取一点 作为积分路径的起点, 可得 用曲线积分 的一般表达式是 C为任意常数. 法二 用不定积分 因为 所以 另一方面, 由于
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