曲线积分与曲面积分例题课件.ppt

第十一章 曲线积分与曲面积分§11-1 对弧长的曲线积分 定义：设 L 为 面内的一条光滑曲 线弧，函数 上有界，在 上 任意插入一点列 把 L 分成 n 个小段，设第 个小段的长度 为 为第 个小段上任意 取定的一点， 作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最 大值 时，这和的极限总存在，则称 此极限为函数 在曲线弧上 L 上 对弧长的曲线积分或第一类曲线积分， 其中 叫做被积函数，L 叫做 积分弧段。 例1．计算 ，其中L为圆 周 ，直线 及 轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。 例2．计算 ，其中 为 折线 ，这里 依次为点 例３．计算 ， 其中L为曲线 。 例4．计算 ， 其中L为折线 所围成 的区域的整个边界 例5．计算半径为R，中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的 转动惯量（设线密度 ）。 §11-2 对坐标的曲线积分 定义：设 L 为 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 上有界，在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 把 L 分成 n 个有向小弧线段 设 为 上任意取定点，如果当各小弧段 长度的最大值 时， 的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的 曲线积分，记作 ，类似 地，如果 总存在，则 称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分， 记作 其中 叫做被积函数， L 叫做积分弧段。 以上两个积分也称为第二类曲线积分。 (一)定理：设 在有向曲 线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程 为 ，当参数 单调地由 变到 时，点 从 L 的起点 A 沿L运动到终点 B， 在以 为端点的闭区间上 具有一阶连续导数且 则曲线积分 存在， 且 例1．计算 ，其中 L 为抛 物线 上从点 到点 的一段弧。 例2．计算 ，其中L为 （1）半径为 ，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。 （2）从点 沿 轴到点 的直线段。 例3．计算 ，其中 L为 （1）抛物线 上从 的一段弧。 （2）抛物线 上从 的一段弧。 （3）有向折线 ,这里O,A,B依次是 点（0，0），（1，0），（1，1）. 例4．计算 其中 为椭圆 若从 轴正向看去， 的方向 是顺时针的。 例5．设一个质点在 处受到 力F的作用，F的大小与M到原点O 的距离成正比，